24-29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f'(1)=f'(-1)=0, f'(x)<0 se |x| < 1,
f'(x) > 0 se 1 < |x| < 2, f'(x) = -1 se |x| > 2,
f''(x) < 0 se -2 < x < 0, ponto de inflexão 0,1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que satisfaz uma série de condições envolvendo suas derivadas primeira e segunda. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo, especialmente derivadas e análise de grafos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas influenciam o comportamento da função e identificar pontos críticos e de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas para a primeira derivada :
  • : Isso significa que a função tem pontos críticos em e .
  • se : A derivada negativa indica que a função está decrescendo nesse intervalo.
  • se : A derivada positiva mostra que a função está crescendo nesse intervalo.
  • se : A derivada constante negativa indica que a função está decrescendo com inclinação constante nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda derivada :
  • se : A concavidade da função é para baixo nesse intervalo.
  • Ponto de inflexão em : Isso significa que a concavidade da função muda nesse ponto.

Passo 4

Vamos juntar essas informações para esboçar o gráfico:
  • Em e , a função tem máximos ou mínimos locais porque a derivada é zero.
  • Entre e , a função está decrescendo.
  • Entre e , está crescendo, e além de , continua decrescendo com inclinação constante.
  • A concavidade muda no ponto , então esse será um ponto de inflexão.

Passo 5

Com base nisso, o gráfico terá a forma de uma curva que atinge um máximo ou mínimo em e , cresce entre esses pontos até , e depois decresce de forma linear. A concavidade para baixo entre e e muda no ponto , indicando onde a curva “vira”.

Resposta

O gráfico da função possui pontos críticos em e , está decrescendo entre e , crescendo entre e , e decresce linearmente para . Há um ponto de inflexão em onde a concavidade muda. Com base nessas características, o esboço do gráfico reflita esses comportamentos de crescimento, decrescimento e concavidade conforme descrito.

Exercícios relacionados