24-29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
se
,
se
se
,
se
, ponto de inflexão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que satisfaz uma série de condições envolvendo suas derivadas primeira e segunda. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo, especialmente derivadas e análise de grafos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas influenciam o comportamento da função e identificar pontos críticos e de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as condições dadas para a primeira derivada
:
-
: Isso significa que a função tem pontos críticos em e . -
se : A derivada negativa indica que a função está decrescendo nesse intervalo. -
se : A derivada positiva mostra que a função está crescendo nesse intervalo. -
se : A derivada constante negativa indica que a função está decrescendo com inclinação constante nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda derivada
:
-
se : A concavidade da função é para baixo nesse intervalo. - Ponto de inflexão em
: Isso significa que a concavidade da função muda nesse ponto.
Passo 4
Vamos juntar essas informações para esboçar o gráfico:
- Em
e , a função tem máximos ou mínimos locais porque a derivada é zero. - Entre
e , a função está decrescendo. - Entre
e , está crescendo, e além de , continua decrescendo com inclinação constante. - A concavidade muda no ponto
, então esse será um ponto de inflexão.
Passo 5
Com base nisso, o gráfico terá a forma de uma curva que atinge um máximo ou mínimo em
e
, cresce entre esses pontos até
, e depois decresce de forma linear. A concavidade para baixo entre
e
e muda no ponto
, indicando onde a curva “vira”.
Resposta
O gráfico da função
possui pontos críticos em
e
, está decrescendo entre
e
, crescendo entre
e
, e decresce linearmente para
. Há um ponto de inflexão em
onde a concavidade muda. Com base nessas características, o esboço do gráfico reflita esses comportamentos de crescimento, decrescimento e concavidade conforme descrito.