1-54 Esboce a curva.
y = e^x / x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve conhecer conceitos de cálculo como domínio, assíntotas, interceptos, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e o comportamento geral da função. Vamos precisar olhar para onde a função está definida, como ela se comporta perto desses pontos e como ela se comporta no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero, ou seja, . Então, o domínio é todos os reais menos zero: .

Passo 3

Agora, vamos analisar as assíntotas. Primeiramente, temos uma assíntota vertical em , já que a função não está definida lá e tende ao infinito quando se aproxima de zero. Em seguida, vamos olhar para o comportamento da função quando tende a e para encontrar possíveis assíntotas horizontais.
  • Quando , cresce muito rápido, mas também cresce. Precisamos comparar as taxas de crescimento. Como cresce exponencialmente, ela domina , então .
  • Quando , tende a zero, e cresce. Então, . Portanto, temos uma assíntota horizontal em para .

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos.
  • Intercepto y: É onde , mas nossa função não está definida aqui, então não tem intercepto y.
  • Intercepto x: É onde . Como nunca é zero, não há intercepto x.

Passo 5

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é zero ou indefinida.
A derivada de usando a regra do quociente é:
Agora, igualamos :
Como e (pois ), temos que , então .
Este é um ponto crítico. Para saber se é máximo ou mínimo, observamos a derivada:
  • Para , por exemplo , (função decrescente).
  • Para , por exemplo , (função crescente).
Então, em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo relativo.

Passo 6

Vamos resumir o comportamento geral da função:
  • Para : A função é positiva (porque e ) e tende a zero conforme .
  • Perto de pela esquerda, a função tende a .
  • Para : A função é positiva e está decrescendo.
  • Em : A função atinge um mínimo relativo.
  • Para : A função é crescente e tende a conforme .

Resposta

O gráfico da função tem uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em para , não possui interceptos com os eixos, apresenta um ponto de mínimo relativo em , e cresce indefinidamente tanto para quanto para . Com essas informações, você consegue esboçar a curva seguindo esses comportamentos.

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