1-54 Esboce a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve conhecer conceitos de cálculo como domínio, assíntotas, interceptos, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e o comportamento geral da função. Vamos precisar olhar para onde a função está definida, como ela se comporta perto desses pontos e como ela se comporta no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função
está definida para todos os valores de
onde o denominador não é zero, ou seja,
. Então, o domínio é todos os reais menos zero:
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as assíntotas. Primeiramente, temos uma assíntota vertical em
, já que a função não está definida lá e tende ao infinito quando
se aproxima de zero. Em seguida, vamos olhar para o comportamento da função quando
tende a
e
para encontrar possíveis assíntotas horizontais.
-
Quando
, cresce muito rápido, mas também cresce. Precisamos comparar as taxas de crescimento. Como cresce exponencialmente, ela domina , então . -
Quando
, tende a zero, e cresce. Então, . Portanto, temos uma assíntota horizontal em para .
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos.
-
Intercepto y: É onde
, mas nossa função não está definida aqui, então não tem intercepto y. -
Intercepto x: É onde
. Como nunca é zero, não há intercepto x.
Passo 5
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é zero ou indefinida.
A derivada de
usando a regra do quociente é:
Agora, igualamos
:
Como
e
(pois
), temos que
, então
.
Este é um ponto crítico. Para saber se é máximo ou mínimo, observamos a derivada:
- Para
, por exemplo , (função decrescente). - Para
, por exemplo , (função crescente).
Então, em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo relativo.
Passo 6
Vamos resumir o comportamento geral da função:
- Para
: A função é positiva (porque e ) e tende a zero conforme . - Perto de
pela esquerda, a função tende a . - Para
: A função é positiva e está decrescendo. - Em
: A função atinge um mínimo relativo. - Para
: A função é crescente e tende a conforme .
Resposta
O gráfico da função
tem uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
para
, não possui interceptos com os eixos, apresenta um ponto de mínimo relativo em
, e cresce indefinidamente tanto para
quanto para
. Com essas informações, você consegue esboçar a curva seguindo esses comportamentos.