Calcule as derivadas
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar funções compostas e utilizar propriedades dos logaritmos e das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que precisamos derivar. Temos uma função composta dentro de outra função:
- A função externa é
, ou seja, algo elevado ao cubo. - A função interna é
, que é o logaritmo natural do seno de x.
Para derivar uma função composta, usamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de
será:
Aqui, derivamos a função externa
, que traz o fator 3 e reduz o expoente para 2, e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
. Sabemos que a derivada do logaritmo natural de uma função é:
Aplicando isso, temos:
Isso porque a derivada de
é
.
Passo 5
Substituindo a derivada da função interna de volta na expressão do passo 3, ficamos com:
Podemos simplificar
para
, que é a cotangente de x.
Passo 6
Portanto, a derivada final da função é:
Resposta
A derivada de
é: