Calcule as derivadas
o) f(x) = [ln(sen(x))]^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Esse exercício está dentro do conteúdo de Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar funções compostas e utilizar propriedades dos logaritmos e das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que precisamos derivar. Temos uma função composta dentro de outra função:
  • A função externa é , ou seja, algo elevado ao cubo.
  • A função interna é , que é o logaritmo natural do seno de x.
Para derivar uma função composta, usamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de será:
Aqui, derivamos a função externa , que traz o fator 3 e reduz o expoente para 2, e multiplicamos pela derivada da função interna .

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna . Sabemos que a derivada do logaritmo natural de uma função é:
Aplicando isso, temos:
Isso porque a derivada de é .

Passo 5

Substituindo a derivada da função interna de volta na expressão do passo 3, ficamos com:
Podemos simplificar para , que é a cotangente de x.

Passo 6

Portanto, a derivada final da função é:

Resposta

A derivada de é:

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