Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por:
(e) , em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que forma quando a região delimitada por , e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para a direita e, junto com a reta , delimitam uma área entre e (já que dá ).
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos calcular a distância de cada ponto da região até essa reta. Essa distância será o raio do nosso “coração” cilíndrico. Matemáticamente, essa distância é .
Passo 4
Usando o método dos cascos, a fórmula para o volume é:
Aqui, o raio é e a altura é a diferença entre as duas funções e , ou seja, .
Passo 5
Vamos expressar tudo em termos de e montar a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do volume:
Passo 8
Simplificando:
Mas aparentemente houve um erro na simplificação anterior. Refazendo de forma correta:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.