Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por:
(e) x = 2y^2, y ≥ 0, x = 2, em torno da reta y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que forma quando a região delimitada por , e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para a direita e, junto com a reta , delimitam uma área entre e (já que ).

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos calcular a distância de cada ponto da região até essa reta. Essa distância será o raio do nosso “coração” cilíndrico. Matemáticamente, essa distância é .

Passo 4

Usando o método dos cascos, a fórmula para o volume é:
Aqui, o raio é e a altura é a diferença entre as duas funções e , ou seja, .

Passo 5

Vamos expressar tudo em termos de e montar a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do volume:

Passo 8

Simplificando:
Mas aparentemente houve um erro na simplificação anterior. Refazendo de forma correta:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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