Resolva os limites a seguir:
lim x 0 x^21-sec x
R.: -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com funções trigonométricas e aplicar algumas regras de limites básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que 1 - sec x = 1 - 1cos x é o mesmo que . Então, podemos reescrever o denominador:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
1 - 1cos x = cos x - 1cos x
Então, o limite fica:
limx 0 x^2cos x - 1cos x = limx 0 x^2 cdot cos xcos x - 1

Passo 4

Agora, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando se aproxima de 0, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx(x^2 cdot cos x) = 2x cdot cos x - x^2 cdot sin x :
Usando a regra do produto:
ddx(cos x - 1) = -sin x
Derivada do denominador :

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx 0 2x cdot cos x - x^2 cdot sin x-sin x

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
limx 0 ( 2x cdot cos x-sin x - x^2 cdot sin x-sin x ) = limx 0 ( -2x cdot cos xsin x + x^2 )
Sabemos que -2x cdot cot x = -2x cdot cos xsin x = -2 cdot xsin x cdot cos x e quando -2 cdot 1 cdot 1 + 0 = -2 se aproxima de 0, tende a infinito, mas multiplicado por , que tende a 0, temos uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, vamos reescrever a expressão:
Sabemos que e , então:

Resposta

O limite é igual a .

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