Resolva os limites a seguir:
R.: -2
R.: -2
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com funções trigonométricas e aplicar algumas regras de limites básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, o limite fica:
Passo 4
Agora, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando
se aproxima de 0, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Usando a regra do produto:
Derivada do denominador
:
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Sabemos que
e quando
se aproxima de 0,
tende a infinito, mas multiplicado por
, que tende a 0, temos uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O limite é igual a
.