Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
c) elipse x^2 + 4(y - 1)^2 = 1 em R^2, em sentido horário

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para uma elipse dada pela equação no plano . O conteúdo que a gente vai usar aqui é a parametrização de curvas, especificamente de elipses, e também vamos ajustar a direção para que a curva seja percorrida no sentido horário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse. A equação geral de uma elipse centrada em é:
Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • O centro da elipse é .
  • então .
  • então .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como parametrizar uma elipse. A parametrização padrão de uma elipse centrada em é:
onde varia de a e o percurso é no sentido anti-horário.

Passo 4

Como queremos que a parametrização siga no sentido horário, precisamos ajustar o sinal da função seno. Uma forma de fazer isso é usar em vez de . Assim, nossa parametrização fica:
Isso garante que, conforme aumenta de a , a elipse é percorrida no sentido horário.

Resposta

Uma parametrização para a elipse no sentido horário é:
onde varia de a .

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