Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
c) elipse
, em sentido horário
c) elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para uma elipse dada pela equação
no plano
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é a parametrização de curvas, especificamente de elipses, e também vamos ajustar a direção para que a curva seja percorrida no sentido horário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse. A equação geral de uma elipse centrada em
é:
Comparando com a nossa equação
, vemos que:
- O centro da elipse é
. -
então . -
então .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como parametrizar uma elipse. A parametrização padrão de uma elipse centrada em
é:
onde
varia de
a
e o percurso é no sentido anti-horário.
Passo 4
Como queremos que a parametrização siga no sentido horário, precisamos ajustar o sinal da função seno. Uma forma de fazer isso é usar
em vez de
. Assim, nossa parametrização fica:
Isso garante que, conforme
aumenta de
a
, a elipse é percorrida no sentido horário.
Resposta
Uma parametrização para a elipse
no sentido horário é:
onde
varia de
a
.
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Considere a função vetorial
:
(b) Calcule e
.
(b) Calcule
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em
, nos seguintes casos:
(b)
(b)