28 integral0^pi / 2 integral4^4+3 cos t s d s d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular . Vamos utilizar conceitos de integração dupla para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . A integral interna é .

Passo 3

Para integrar integral s , ds = 12 s^2 + C em relação a , usamos a fórmula básica da integral de uma função do tipo :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 4 a [ 12 s^2 ]4^4+3 cos t = 12 (4 + 3 cos t)^2 - 12 (4)^2 :

Passo 5

Vamos expandir (4 + 3 cos t)^2 = 16 + 24 cos t + 9 cos^2 t :
12 (16 + 24 cos t + 9 cos^2 t) - 12 times 16 = 12 (24 cos t + 9 cos^2 t)
Então:

Passo 6

Simplificando:
12 times 24 cos t = 12 cos t
12 times 9 cos^2 t = 92 cos^2 t
Portanto, a integral interna resulta em:
12 cos t + 92 cos^2 t

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
28 integral0^pi / 2 (12 cos t + 92 cos^2 t) dt

Passo 8

Vamos separar a integral em duas partes:
28 ( integral0^pi / 2 12 cos t , dt + integral0^pi / 2 92 cos^2 t , dt )

Passo 9

Calculando a primeira integral:
integral 12 cos t , dt = 12 sin t
Aplicando os limites de 0 a 12 sin ( pi2 ) - 12 sin(0) = 12 times 1 - 0 = 12 :

Passo 10

Agora, a segunda integral:
integral 92 cos^2 t , dt
Usamos a identidade 92 integral 1 + cos 2t2 , dt = 94 integral (1 + cos 2t) , dt :
94 ( t + sin 2t2 )
Integrando:
94 ( pi2 + sin pi2 - 0 - sin 02 ) = 94 times pi2 = 9pi8
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 11

Somando as duas integrais:
12 + 9pi8
Multiplicando por 28:
28 (12 + 9pi8) = 336 + 252pi8 = 336 + 31.5pi

Resposta

A solução do exercício é .

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