(25) Converta para coordenadas cilíndricas e calcule
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral(x^2+y^2)^2^16 x^2 d z d y d x
Boa prova!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e precisamos transformar ela para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especialmente a mudança de coordenadas e o uso do jacobiano. Vamos precisar lembrar como converter x, y e z para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o diferencial de volume muda para:
dV = r , dz , dr , dtheta
Isso significa que qualquer integral em coordenadas cartesianas pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas substituindo x e y e incluindo esse fator extra de .

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites de r de 0 a 2, theta de 0 a 2pi de -2 a 2 e z de r^4 a 16 de a , percebemos que estamos descrevendo um círculo de raio 2 no plano xy. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Para o , os limites vão de a 16. Como , isso vira:

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda x^2 = (r costheta)^2 = r^2 cos^2theta em termos das coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral(x^2+y^2)^2^16 x^2 , dz , dy , dx
Então, a integral original:
integral0^2pi integral0^2 integralr^4^16 r^2 cos^2theta cdot r , dz , dr , dtheta
Em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^2 integralr^4^16 r^3 cos^2theta , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar em relação a integralr^4^16 r^3 cos^2theta , dz = r^3 cos^2theta cdot (16 - r^4) primeiro. A integral em relação a integral0^2pi integral0^2 r^3 cos^2theta (16 - r^4) , dr , dtheta de de a 16 é:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r^3 cos^2theta (16 - r^4) = 16 r^3 cos^2theta - r^7 cos^2theta . Antes disso, podemos expandir a expressão:
integral0^2 (16 r^3 cos^2theta - r^7 cos^2theta) , dr = cos^2theta ( 16 integral0^2 r^3 , dr - integral0^2 r^7 , dr )
Então, a integral em integral0^2 r^3 , dr = 2^44 = 4 fica:
integral0^2 r^7 , dr = 2^88 = 32
Calculando as integrais:
cos^2theta (16 cdot 4 - 32) = cos^2theta (64 - 32) = 32 cos^2theta
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^2pi 32 cos^2theta , dtheta :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:
32 cdot pi = 32pi
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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