(25) Converta para coordenadas cilíndricas e calcule
Boa prova!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e precisamos transformar ela para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especialmente a mudança de coordenadas e o uso do jacobiano. Vamos precisar lembrar como converter x, y e z para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o diferencial de volume muda para:
Isso significa que qualquer integral em coordenadas cartesianas pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas substituindo x e y e incluindo esse fator extra de .

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites de de -2 a 2 e de a , percebemos que estamos descrevendo um círculo de raio 2 no plano xy. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Para o , os limites vão de a 16. Como , isso vira:

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda em termos das coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, a integral original:
Em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral em relação a de de a 16 é:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . Antes disso, podemos expandir a expressão:
Então, a integral em fica:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto .
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(e) ( ) O limite .
Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;
Calcule as constantes de modo que:
(a)
(b)
© e sendo
(1.5) Use a fórmula para obter , sabendo que