(25) Converta para coordenadas cilíndricas e calcule
Boa prova!
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e precisamos transformar ela para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especialmente a mudança de coordenadas e o uso do jacobiano. Vamos precisar lembrar como converter x, y e z para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o diferencial de volume muda para:
Isso significa que qualquer integral em coordenadas cartesianas pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas substituindo x e y e incluindo esse fator extra de
.
Passo 3
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites de
de -2 a 2 e
de
a
, percebemos que estamos descrevendo um círculo de raio 2 no plano xy. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Para o
, os limites vão de
a 16. Como
, isso vira:
Passo 4
Vamos reescrever a função integranda
em termos das coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, a integral original:
Em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral em relação a
de
de
a 16 é:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
. Antes disso, podemos expandir a expressão:
Então, a integral em
fica:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto
.
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação
.
(e) ( ) O limite .
(a) ( )
(b) ( ) O limite
© ( ) A função
(d) ( ) Não existe nenhum número real
(e) ( ) O limite
Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;
Calcule as constantes de modo que:
(a)
(b)
© e
sendo
(a)
(b)
©
(1.5) Use a fórmula
para obter
, sabendo que