Vamos ver o que a questão está perguntando: precisamos determinar se o limite é igual a 1. Isso envolve o conteúdo de limites e funções absolutas. Para resolver, vamos calcular o limite passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de .
Numerador:
Quando , .
Denominador:
Quando , .
Portanto, temos uma forma indeterminada .
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se , então , desde que o limite exista.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
Derivada do numerador : .
Derivada do denominador :
Primeiro, note que .
Quando se aproxima de , , então a derivada precisa considerar a função dentro do valor absoluto: .
No ponto , , portanto, a derivada do denominador não está definida neste ponto, o que indica que a regra de L’Hôpital não pode ser aplicada diretamente.
Passo 4
Vamos então analisar o limite diretamente:
Vamos simplificar a expressão:
Então:
Porque cancela no numerador e denominador (desde que ).
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos para a questão (b): Determinar se o limite é verdadeiro ou falso. Isso envolve limites e propriedades de funções polinomiais.
Isso envolve conceitos de continuidade e análise de funções por partes.
Passo 9
Primeiro, observamos que há uma confusão na definição da função. O ponto de possível descontinuidade informado é , mas a definição especial da função é para .
Vamos verificar a continuidade em :
Para :
A divisão por zero não está definida, o que indica que há uma descontinuidade em .
Passo 10
Agora, a questão (d): Determinar se existe algum número real que seja raiz da equação . Isso envolve teoremas de funções contínuas e raízes.
Passo 11
Vamos analisar a função no intervalo .
Calculamos e :
Como e , e a função é contínua (como polinômio) no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos tal que .
Passo 12
Por fim, a questão (e): Verificar se . Isso envolve limites no infinito e simplificação de expressões.