Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) lim x 12 2 x-1|2 x^3-x^2|=1.
(b) ( ) O limite lim x a (x+a)^3-a^3x=3 a^2.
© ( ) A função g(x)=rllx^2+xx^2-1, & se & x neq-1 1 & se & x=-1 é descontínua no ponto x=1.
(d) ( ) Não existe nenhum número real c in(-1,0) tal que seja uma raiz da equação x^5+x+1=0.
(e) ( ) O limite lim x +infty raizx^2+2 x3 x+10=0.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está perguntando: precisamos determinar se o limite é igual a 1. Isso envolve o conteúdo de limites e funções absolutas. Para resolver, vamos calcular o limite passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de .
  • Numerador:
    Quando , .
  • Denominador:
    Quando , .
    Portanto, temos uma forma indeterminada .
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se , então , desde que o limite exista.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
    .
  • Derivada do denominador :
    Primeiro, note que .
    Quando se aproxima de , , então a derivada precisa considerar a função dentro do valor absoluto:
    .
No ponto , , portanto, a derivada do denominador não está definida neste ponto, o que indica que a regra de L’Hôpital não pode ser aplicada diretamente.

Passo 4

Vamos então analisar o limite diretamente:
limx 12 2x - 1|2x^3 - x^2| = 00
Vamos simplificar a expressão:
2x^3 - x^2 = x^2(2x - 1)
Então:
2x - 1|2x^3 - x^2| = 2x - 1|x^2(2x - 1)| = 1|x^2|
Porque limx 12 1|x^2| = 1(12)^2 = 114 = 4 cancela no numerador e denominador (desde que ).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos para a questão (b): Determinar se o limite é verdadeiro ou falso. Isso envolve limites e propriedades de funções polinomiais.

Passo 6

Primeiro, vamos expandir (x + a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 :
(x + a)^3 - a^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2
Subtraindo limx a x^3 + 3x^2a + 3xa^2x :
limx a x^2 + 3xa + 3a^2
Portanto, a expressão do limite fica:
Simplificando dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, substituímos a^2 + 3a times a + 3a^2 = a^2 + 3a^2 + 3a^2 = 7a^2 por :

Passo 8

Vamos para a questão ©: Verificar se a função g(x) = x^2 + xx^2 - 1, & se x neq -1 1, & se x = -1 é descontínua no ponto . A função dada é:
Isso envolve conceitos de continuidade e análise de funções por partes.

Passo 9

Primeiro, observamos que há uma confusão na definição da função. O ponto de possível descontinuidade informado é g(1) = 1^2 + 11^2 - 1 = 20 , mas a definição especial da função é para .
Vamos verificar a continuidade em :
Para :
A divisão por zero não está definida, o que indica que há uma descontinuidade em .

Passo 10

Agora, a questão (d): Determinar se existe algum número real que seja raiz da equação . Isso envolve teoremas de funções contínuas e raízes.

Passo 11

Vamos analisar a função f(-1) = (-1)^5 + (-1) + 1 = -1 -1 +1 = -1 no intervalo f(0) = 0^5 + 0 + 1 = 1 .
Calculamos e :
Como e , e a função é contínua (como polinômio) no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos tal que .

Passo 12

Por fim, a questão (e): Verificar se . Isso envolve limites no infinito e simplificação de expressões.

Passo 13

Vamos simplificar a expressão:
raizx^2 + 2x3x + 10
No numerador, fatoramos raizx^2(1 + 2x) = |x|raiz1 + 2x = xraiz1 + 2x (como x to +infty) :
xraiz1 + 2x3x + 10 = raiz1 + 2x3 + 10x
Então, a expressão se torna:
raiz1 + 03 + 0 = 13
Agora, quando , e , então:

Resposta

Falso. O limite é , não 0.

Resumo das Respostas

  • (a) Falso.
  • (b) Falso.
  • © Verdadeiro.
  • (d) Falso.
  • (e) Falso.

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