Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( )
.
(b) ( ) O limite
.
© ( ) A função
é descontínua no ponto
.
(d) ( ) Não existe nenhum número real
tal que seja uma raiz da equação
.
(e) ( ) O limite
.
(a) ( )
(b) ( ) O limite
© ( ) A função
(d) ( ) Não existe nenhum número real
(e) ( ) O limite
Passo 1
Vamos ver o que a questão está perguntando: precisamos determinar se o limite
é igual a 1. Isso envolve o conteúdo de limites e funções absolutas. Para resolver, vamos calcular o limite passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
Quando, . -
Denominador:
Quando, .
Portanto, temos uma forma indeterminada.
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se
, então
, desde que o limite exista.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador
:
. -
Derivada do denominador
:
Primeiro, note que.
Quandose aproxima de , , então a derivada precisa considerar a função dentro do valor absoluto:
.
No ponto
,
, portanto, a derivada do denominador não está definida neste ponto, o que indica que a regra de L’Hôpital não pode ser aplicada diretamente.
Passo 4
Vamos então analisar o limite diretamente:
Vamos simplificar a expressão:
Então:
Porque
cancela no numerador e denominador (desde que
).
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos para a questão (b): Determinar se o limite
é verdadeiro ou falso. Isso envolve limites e propriedades de funções polinomiais.
Passo 6
Primeiro, vamos expandir
:
Subtraindo
:
Portanto, a expressão do limite fica:
Simplificando dividindo cada termo por
:
Passo 7
Agora, substituímos
por
:
Passo 8
Vamos para a questão ©: Verificar se a função
é descontínua no ponto
. A função dada é:
Isso envolve conceitos de continuidade e análise de funções por partes.
Passo 9
Primeiro, observamos que há uma confusão na definição da função. O ponto de possível descontinuidade informado é
, mas a definição especial da função é para
.
Vamos verificar a continuidade em
:
Para
:
A divisão por zero não está definida, o que indica que há uma descontinuidade em
.
Passo 10
Agora, a questão (d): Determinar se existe algum número real
que seja raiz da equação
. Isso envolve teoremas de funções contínuas e raízes.
Passo 11
Vamos analisar a função
no intervalo
.
Calculamos
e
:
Como
e
, e a função
é contínua (como polinômio) no intervalo
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos
tal que
.
Passo 12
Por fim, a questão (e): Verificar se
. Isso envolve limites no infinito e simplificação de expressões.
Passo 13
Vamos simplificar a expressão:
No numerador, fatoramos
:
Então, a expressão se torna:
Agora, quando
,
e
, então:
Resposta
Falso. O limite é
, não 0.
Resumo das Respostas
- (a) Falso.
- (b) Falso.
- © Verdadeiro.
- (d) Falso.
- (e) Falso.