Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto .
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(e) ( ) O limite .

Passo 1

Vamos ver o que a questão está perguntando: precisamos determinar se o limite é igual a 1. Isso envolve o conteúdo de limites e funções absolutas. Para resolver, vamos calcular o limite passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de .
  • Numerador:
    Quando , .
  • Denominador:
    Quando , .
    Portanto, temos uma forma indeterminada .
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se , então , desde que o limite exista.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
    .
  • Derivada do denominador :
    Primeiro, note que .
    Quando se aproxima de , , então a derivada precisa considerar a função dentro do valor absoluto:
    .
No ponto , , portanto, a derivada do denominador não está definida neste ponto, o que indica que a regra de L’Hôpital não pode ser aplicada diretamente.

Passo 4

Vamos então analisar o limite diretamente:
Vamos simplificar a expressão:
Então:
Porque cancela no numerador e denominador (desde que ).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos para a questão (b): Determinar se o limite é verdadeiro ou falso. Isso envolve limites e propriedades de funções polinomiais.

Passo 6

Primeiro, vamos expandir :
Subtraindo :
Portanto, a expressão do limite fica:
Simplificando dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, substituímos por :

Passo 8

Vamos para a questão ©: Verificar se a função é descontínua no ponto . A função dada é:
Isso envolve conceitos de continuidade e análise de funções por partes.

Passo 9

Primeiro, observamos que há uma confusão na definição da função. O ponto de possível descontinuidade informado é , mas a definição especial da função é para .
Vamos verificar a continuidade em :
Para :
A divisão por zero não está definida, o que indica que há uma descontinuidade em .

Passo 10

Agora, a questão (d): Determinar se existe algum número real que seja raiz da equação . Isso envolve teoremas de funções contínuas e raízes.

Passo 11

Vamos analisar a função no intervalo .
Calculamos e :
Como e , e a função é contínua (como polinômio) no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos tal que .

Passo 12

Por fim, a questão (e): Verificar se . Isso envolve limites no infinito e simplificação de expressões.

Passo 13

Vamos simplificar a expressão:
No numerador, fatoramos :
Então, a expressão se torna:
Agora, quando , e , então:

Resposta

Falso. O limite é , não 0.

Resumo das Respostas

  • (a) Falso.
  • (b) Falso.
  • © Verdadeiro.
  • (d) Falso.
  • (e) Falso.

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Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;
Encontre os valores das constantes e , se possível, para que seja contínua para todo a função:
(25) Converta para coordenadas cilíndricas e calcule
Boa prova!
Calcule as constantes de modo que:
(a)
(b)
© e sendo