Calcule as constantes de modo que:
(a)
(b)
©
e
sendo
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem três partes. O assunto aqui é limites, uma ferramenta super importante em cálculo para entender o comportamento das funções. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, como fatoração, e entender como manipular expressões para que possamos calcular esses limites que estão pedindo.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a):
Primeiro, observamos que se substituirmos
diretamente, tanto o numerador quanto o denominador serão zero, resultando em uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos fatorar o numerador de modo que o termo
apareça e possa ser cancelado com o denominador.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador:
Queremos que
seja uma raiz dessa expressão, ou seja, que
. Isso nos dá a primeira equação:
Agora, usando a técnica de fatoração, podemos escrever:
Expandindo o lado direito:
Comparando com
, temos:
Substituindo
na segunda equação:
Isso não nos dá uma nova informação, então precisamos usar a condição do limite.
Passo 4
Após simplificar, o limite fica:
Portanto:
Substituindo
na equação
:
E
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b):
Vamos simplificar a expressão:
À medida que
vai para
,
e
. Portanto, o limite fica:
Para que isso faça sentido, o coeficiente de
deve ser zero, ou seja,
, e o termo constante deve ser 5.
Passo 6
Então, temos:
E como o limite é 5, o termo constante restante deve ser 5:
Assim, não há restrição adicional além de
. Porém, para termos uma solução única, assumimos que os termos de
cancelam e apenas a constante permanece.
Passo 7
Agora, vamos para a parte ©:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Para o limite em
, analisamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Mas nos foi dado que esse limite é 3. Isso só é possível se o termo de
no numerador for zero, ou seja,
.
Passo 8
Com
, a função fica:
Agora, o limite em
é:
Agora, a função é:
Agora precisamos que o limite em
seja 1. Para isso, substituímos
na função:
Aqui, o denominador é zero, então para que o limite exista e seja igual a 1, o numerador também deve ser zero, e a derivada (usando a Regra de L’Hôpital) deve ser igual a 1.
Passo 9
Primeiro, ajustamos para que o numerador seja zero quando
:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivando o numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite:
Queremos que isso seja igual a 1:
Então,
Resposta
(a)
e
(b)
©
,
,
e