Calcule as constantes de modo que:
(a) lim x 3 x^2-a x+bx-3=5
(b) lim x +infty[a x-b x+3x+1]=5
© lim x +infty f(x)=3 e lim x -2 f(x)=1 sendo f(x)= a x^3+b x^2+c x+d4(x^2+x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem três partes. O assunto aqui é limites, uma ferramenta super importante em cálculo para entender o comportamento das funções. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, como fatoração, e entender como manipular expressões para que possamos calcular esses limites que estão pedindo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a):
lim x 3 x^2-a x+bx-3=5
Primeiro, observamos que se substituirmos diretamente, tanto o numerador quanto o denominador serão zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos fatorar o numerador de modo que o termo apareça e possa ser cancelado com o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador:
x^2 - a x + b
Queremos que 9 - 3a + b = 0 Rightarrow b = 3a - 9 seja uma raiz dessa expressão, ou seja, que x^2 - a x + b = (x - 3)(x - c) . Isso nos dá a primeira equação:
x^2 - (3 + c)x + 3c
Agora, usando a técnica de fatoração, podemos escrever:
- (3 + c) = -a Rightarrow a = 3 + c
Expandindo o lado direito:
3c = b
Comparando com 3c = 3(3 + c) - 9 Rightarrow 3c = 9 + 3c - 9 Rightarrow 0 = 0 , temos:
Substituindo na segunda equação:
Isso não nos dá uma nova informação, então precisamos usar a condição do limite.

Passo 4

Após simplificar, o limite fica:
lim x 3 (x - 3)(x - c)x - 3 = lim x 3 (x - c) = 3 - c = 5
Portanto:
3 - c = 5 Rightarrow c = -2
Substituindo a = 3 + (-2) = 1 na equação :
E

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b):
lim x +infty[a x-b x+3x+1]=5
Vamos simplificar a expressão:
a x - b x + 3x + 1 = a x - b xx + 1 - 3x + 1
À medida que a x - b approx 5 vai para , e . Portanto, o limite fica:
Para que isso faça sentido, o coeficiente de deve ser zero, ou seja, , e o termo constante deve ser 5.

Passo 6

Então, temos:
a - b = 0 Rightarrow a = b
E como o limite é 5, o termo constante restante deve ser 5:
0 x + 5 = 5
Assim, não há restrição adicional além de . Porém, para termos uma solução única, assumimos que os termos de cancelam e apenas a constante permanece.

Passo 7

Agora, vamos para a parte ©:
lim x +infty f(x)=3 e lim x -2 f(x)=1 onde f(x)= a x^3+b x^2+c x+d4(x^2+x-2)
Primeiro, simplificamos o denominador:
4(x^2 + x - 2) = 4(x + 2)(x - 1)
Para o limite em lim x +infty a x^34 x^2 = lim x +infty a x4 = +infty , analisamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Mas nos foi dado que esse limite é 3. Isso só é possível se o termo de no numerador for zero, ou seja, .

Passo 8

Com f(x) = b x^2 + c x + d4(x^2 + x - 2) , a função fica:
lim x +infty b x^24 x^2 = b4 = 3 Rightarrow b = 12
Agora, o limite em f(x) = 12 x^2 + c x + d4(x + 2)(x - 1) é:
f(-2) = 12(-2)^2 + c(-2) + d4((-2) + 2)((-2) - 1) = 48 - 2c + d4(0)(-3)
Agora, a função é:
Agora precisamos que o limite em seja 1. Para isso, substituímos na função:
Aqui, o denominador é zero, então para que o limite exista e seja igual a 1, o numerador também deve ser zero, e a derivada (usando a Regra de L’Hôpital) deve ser igual a 1.

Passo 9

Primeiro, ajustamos para que o numerador seja zero quando 48 - 2c + d = 0 Rightarrow d = 2c - 48 :
f(x) = 12x^2 + c x + (2c - 48)4(x + 2)(x - 1)
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
f'(x) = 24x + c4(2x + 1)
Derivando o numerador e denominador:
lim x -2 24x + c4(2x + 1) = 24(-2) + c4(2(-2) + 1) = -48 + c4(-4 + 1) = -48 + c-12 = 48 - c12 = 4 - c12
Agora, calculamos o limite:
4 - c12 = 1 Rightarrow c12 = 3 Rightarrow c = 36
Queremos que isso seja igual a 1:
Então,

Resposta

(a) e
(b)
© , , e

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