Calcule as constantes de modo que:
(a)
(b)
© e sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem três partes. O assunto aqui é limites, uma ferramenta super importante em cálculo para entender o comportamento das funções. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, como fatoração, e entender como manipular expressões para que possamos calcular esses limites que estão pedindo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a):
Primeiro, observamos que se substituirmos diretamente, tanto o numerador quanto o denominador serão zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos fatorar o numerador de modo que o termo apareça e possa ser cancelado com o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador:
Queremos que seja uma raiz dessa expressão, ou seja, que . Isso nos dá a primeira equação:
Agora, usando a técnica de fatoração, podemos escrever:
Expandindo o lado direito:
Comparando com , temos:
Substituindo na segunda equação:
Isso não nos dá uma nova informação, então precisamos usar a condição do limite.

Passo 4

Após simplificar, o limite fica:
Portanto:
Substituindo na equação :
E

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b):
Vamos simplificar a expressão:
À medida que vai para , e . Portanto, o limite fica:
Para que isso faça sentido, o coeficiente de deve ser zero, ou seja, , e o termo constante deve ser 5.

Passo 6

Então, temos:
E como o limite é 5, o termo constante restante deve ser 5:
Assim, não há restrição adicional além de . Porém, para termos uma solução única, assumimos que os termos de cancelam e apenas a constante permanece.

Passo 7

Agora, vamos para a parte ©:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Para o limite em , analisamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Mas nos foi dado que esse limite é 3. Isso só é possível se o termo de no numerador for zero, ou seja, .

Passo 8

Com , a função fica:
Agora, o limite em é:
Agora, a função é:
Agora precisamos que o limite em seja 1. Para isso, substituímos na função:
Aqui, o denominador é zero, então para que o limite exista e seja igual a 1, o numerador também deve ser zero, e a derivada (usando a Regra de L’Hôpital) deve ser igual a 1.

Passo 9

Primeiro, ajustamos para que o numerador seja zero quando :
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivando o numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite:
Queremos que isso seja igual a 1:
Então,

Resposta

(a) e
(b)
© , , e

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Boa prova!
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto .
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(e) ( ) O limite .
(1.5) Use a fórmula para obter , sabendo que
Calcule as derivadas das funções abaixo: