Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio 2, orientada positivamente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área limitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial e um caminho fechado que delimita uma região , a integral de linha ao redor de pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla de 2 sobre a região limitada pela circunferência de raio 2. A área de um círculo é dada por . Para :

Passo 5

Multiplicando a constante 2 pela área para encontrar a integral dupla:

Resposta

A integral ao longo da circunferência de raio 2 é igual a .

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Encontre os valores das constantes e , se possível, para que seja contínua para todo a função:
Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: elipse ;
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto .
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(e) ( ) O limite .
(25) Converta para coordenadas cilíndricas e calcule
Boa prova!