Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio 2, orientada positivamente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área limitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial e um caminho fechado que delimita uma região , a integral de linha ao redor de pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla de 2 sobre a região limitada pela circunferência de raio 2. A área de um círculo é dada por . Para :
Passo 5
Multiplicando a constante 2 pela área para encontrar a integral dupla:
Resposta
A integral ao longo da circunferência de raio 2 é igual a .