Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio 2, orientada positivamente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área limitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
e um caminho fechado
que delimita uma região
, a integral de linha ao redor de
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla de 2 sobre a região
limitada pela circunferência de raio 2. A área de um círculo é dada por
. Para
:
Passo 5
Multiplicando a constante 2 pela área
para encontrar a integral dupla:
Resposta
A integral
ao longo da circunferência de raio 2 é igual a
.