Calcule integralC-y d x+x d y, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: circunferência de centro na origem e raio 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC -y , dx + x , dy ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio 2, orientada positivamente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área limitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial F = (P, Q) e um caminho fechado C que delimita uma região D, a integral de linha ao redor de C pode ser convertida em uma integral dupla sobre D:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = -y e Q = x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla de 2 sobre a região D limitada pela circunferência de raio 2. A área de um círculo é dada por A = pi r^2. Para r = 2:
A = pi (2)^2 = 4pi

Passo 5

Multiplicando a constante 2 pela área A para encontrar a integral dupla:
integral duplaD 2 , dA = 2 times 4pi = 8pi

Resposta

A integral integralC -y , dx + x , dy ao longo da circunferência de raio 2 é igual a 8pi.

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