(2,25)
a. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2
Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . Para resolver, vamos verificar se o limite existe ou se ele depende do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando 0 cdot y cos y3 cdot 0^2 + y^2 = 0y^2 = 0 . Substituindo:
Então, ao se aproximar de pela linha , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando x cdot 0 cdot cos 03 x^2 + 0^2 = 03x^2 = 0 . Substituindo:
Então, ao se aproximar de pela linha , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, x cdot kx cdot cos(kx)3x^2 + (kx)^2 = kx^2 cos(kx)3x^2 + k^2x^2 = k cos(kx)3 + k^2 , onde limx to 0 k cos(kx)3 + k^2 = k3 + k^2 é uma constante. Substituindo:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então:
Perceba que esse resultado depende do valor de . Se escolhermos diferentes valores para , obteremos diferentes limites. Isso significa que o limite original depende do caminho escolhido para chegar em .

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho escolhido para se aproximar de .

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