Considere os pontos tabelados
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
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0,91 | 1,43 | 1,58 | 1,55 | 1,44 | 1,30 | 1,18 |
Obtenha uma aproximação para o valor máximo de
no intervalo
usando interpolação quadrática.
Passo 1
Beleza, temos um exercício que pede para a gente encontrar uma aproximação para o valor máximo da função
no intervalo
usando interpolação quadrática. A tabela nos dá valores de
para
de 1 a 7. Vamos precisar entender o que é interpolação quadrática e como usá-la para estimar o ponto onde
atinge seu valor máximo nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde
parece ter o maior valor na tabela. Olhando os valores:
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,91 | 1,43 | 1,58 | 1,55 | 1,44 | 1,30 | 1,18 |
Vemos que o maior valor de
está em
com
. Para fazer uma interpolação quadrática, vamos usar esse ponto e os dois pontos adjacentes (
e
).
Passo 3
Agora, vamos ajustar uma parábola que passa por esses três pontos:
,
e
. A equação geral de uma parábola é
. Precisamos encontrar os coeficientes
,
e
que satisfazem os três pontos.
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações substituindo os valores de
e
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Passo 6
Agora, temos:
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Agora, substituindo
na Equação 4:
Finalmente, substituindo
e
em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:
Passo 7
Agora que temos os coeficientes, a equação da parábola é:
Para encontrar o ponto máximo dessa parábola, vamos encontrar o vértice. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Substituindo
e
:
Resposta
Aproximadamente, o valor máximo de
no intervalo
ocorre em
.
Exercícios relacionados
Encontre um polinômio
de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:
Considere a função
e os nós
e
.
Encontre o polinômio quadrático que interpola
e aproxime
.
Encontre o polinômio quadrático
a. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
b.