Considere os pontos tabelados
1 2 3 4 5 6 7
0,91 1,43 1,58 1,55 1,44 1,30 1,18
Obtenha uma aproximação para o valor máximo de no intervalo usando interpolação quadrática.

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para a gente encontrar uma aproximação para o valor máximo da função no intervalo usando interpolação quadrática. A tabela nos dá valores de para de 1 a 7. Vamos precisar entender o que é interpolação quadrática e como usá-la para estimar o ponto onde atinge seu valor máximo nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde parece ter o maior valor na tabela. Olhando os valores:
1 2 3 4 5 6 7
0,91 1,43 1,58 1,55 1,44 1,30 1,18
Vemos que o maior valor de está em com . Para fazer uma interpolação quadrática, vamos usar esse ponto e os dois pontos adjacentes ( e ).

Passo 3

Agora, vamos ajustar uma parábola que passa por esses três pontos: , e . A equação geral de uma parábola é . Precisamos encontrar os coeficientes , e que satisfazem os três pontos.

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações substituindo os valores de e :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
çã
Subtraindo a segunda equação da terceira:
çã

Passo 6

Agora, temos:
çã
çã
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Agora, substituindo na Equação 4:
Finalmente, substituindo e em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:

Passo 7

Agora que temos os coeficientes, a equação da parábola é:
Para encontrar o ponto máximo dessa parábola, vamos encontrar o vértice. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Substituindo e :

Resposta

Aproximadamente, o valor máximo de no intervalo ocorre em .

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Encontre um polinômio de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:
Considere a função e os nós e .
Encontre o polinômio quadrático que interpola e aproxime .

a. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe

b. ? (Dica: Use o fato que ).