Encontre um polinômio de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau no máximo 2 que atenda a três condições dadas: , e . Isso significa que estamos trabalhando com polinômios quadráticos, que têm a forma geral:
Então, nosso objetivo é descobrir os valores de , e que satisfazem essas três equações.

Passo 2

Primeiro, vamos usar as condições dadas para montar um sistema de equações. Substituindo cada valor de e na forma geral do polinômio, temos:
  1. Para e :
  1. Para e :
  1. Para e :
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos eliminar subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
çã
Subtraindo a primeira equação da terceira:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema com duas equações:
çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar :
Agora que temos , substituímos na Equação 4 para encontrar :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, vamos usar uma das equações iniciais para encontrar . Vamos usar a primeira:

Resposta

Então, o polinômio que satisfaz as condições dadas é:

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1 2 3 4 5 6 7
0,91 1,43 1,58 1,55 1,44 1,30 1,18
Obtenha uma aproximação para o valor máximo de no intervalo usando interpolação quadrática.

a. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe