Beleza, vamos resolver esse problema do calor que você enviou! Basicamente, estamos lidando com uma equação que descreve como a temperatura varia ao longo de uma barra de 0 a 1 unidades de comprimento e ao longo do tempo. O conteúdo envolve a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, condições iniciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação principal e as condições que temos:
A equação do calor dada é:
Onde representa a temperatura na posição e no tempo .
As condições são:
Inicial: para todo (a temperatura inicial é 10 em toda a barra).
De contorno:
(a temperatura na posição 0 é sempre 50).
(a temperatura na posição 1 é sempre 80).
Passo 3
Vamos procurar uma solução estacionária, ou seja, uma solução que não muda com o tempo. Chamamos essa solução de . Para isso, quando a solução é estacionária, a derivada em relação ao tempo é zero:
Substituindo na equação do calor:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação acima:
Integrando uma vez:
Integrando de novo:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar e :
Quando :
Quando :
Passo 6
Então, a solução estacionária é:
Passo 7
Agora, consideramos a solução geral da equação do calor como a soma da solução estacionária e uma solução transitória :
Substituímos isso na equação original para encontrar a equação que deve satisfazer.
Passo 8
Substituindo na equação do calor:
Como as derivadas de são zero em relação a e respectivamente, a equação simplifica para:
Passo 9
Temos que resolver a equação homogênea para com condições de contorno homogêneas:
Condição inicial:
Passo 10
Vamos usar a separação de variáveis para resolver . Assumimos que . Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 11
Assim, temos duas equações:
Para :
Para :
Passo 12
Resolvendo a equação para com as condições de contorno :
A solução não trivial ocorre quando:
Passo 13
As soluções para são:
E para :
Passo 14
Então, a solução geral para é uma soma infinita dessas soluções:
Onde são constantes que determinamos a partir da condição inicial.
Passo 15
Aplicamos a condição inicial :
Para encontrar , usamos a série de Fourier para a função no intervalo .
Passo 16
Calculando os coeficientes para as funções de seno:
Esse cálculo envolve integração por partes e resulta em:
Passo 17
Portanto, a solução para fica:
Passo 18
Finalmente, juntando a solução estacionária e a solução transitória, obtemos a solução completa para :