Resolva os problemas do calor abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema do calor que você enviou! Basicamente, estamos lidando com uma equação que descreve como a temperatura varia ao longo de uma barra de 0 a 1 unidades de comprimento e ao longo do tempo. O conteúdo envolve a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, condições iniciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação principal e as condições que temos:
A equação do calor dada é:
Onde representa a temperatura na posição e no tempo .
As condições são:
  • Inicial: para todo (a temperatura inicial é 10 em toda a barra).
  • De contorno:
    • (a temperatura na posição 0 é sempre 50).
    • (a temperatura na posição 1 é sempre 80).

Passo 3

Vamos procurar uma solução estacionária, ou seja, uma solução que não muda com o tempo. Chamamos essa solução de . Para isso, quando a solução é estacionária, a derivada em relação ao tempo é zero:
Substituindo na equação do calor:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação acima:
Integrando uma vez:
Integrando de novo:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar e :
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 6

Então, a solução estacionária é:

Passo 7

Agora, consideramos a solução geral da equação do calor como a soma da solução estacionária e uma solução transitória :
Substituímos isso na equação original para encontrar a equação que deve satisfazer.

Passo 8

Substituindo na equação do calor:
Como as derivadas de são zero em relação a e respectivamente, a equação simplifica para:

Passo 9

Temos que resolver a equação homogênea para com condições de contorno homogêneas:
  • Condição inicial:

Passo 10

Vamos usar a separação de variáveis para resolver . Assumimos que . Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 11

Assim, temos duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 12

Resolvendo a equação para com as condições de contorno :
A solução não trivial ocorre quando:

Passo 13

As soluções para são:
E para :

Passo 14

Então, a solução geral para é uma soma infinita dessas soluções:
Onde são constantes que determinamos a partir da condição inicial.

Passo 15

Aplicamos a condição inicial :
Para encontrar , usamos a série de Fourier para a função no intervalo .

Passo 16

Calculando os coeficientes para as funções de seno:
Esse cálculo envolve integração por partes e resulta em:

Passo 17

Portanto, a solução para fica:

Passo 18

Finalmente, juntando a solução estacionária e a solução transitória, obtemos a solução completa para :

Resposta

A solução do problema do calor é dada por:

Exercícios relacionados


b. ? (Dica: Use o fato que ).

a. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda
Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .