.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de
multiplicada por
, no intervalo de
até
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções trigonométricas e técnicas como a integração por partes e uso de identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte trigonométrica da integral. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que multiplica seno por cosseno:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Substituindo essa expressão na integral original, ficamos com:
Isso separa a integral em duas partes mais simples:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais usando a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos aplicar isso para cada integral separadamente.
Passo 5
Primeira Integral:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Passo 6
Segunda Integral:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Agora, substituindo as integrais encontradas de volta na expressão original:
Passo 8
Vamos calcular cada termo nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Finalmente, subtraímos o resultado em
do resultado em
e multiplicamos por
para obter o valor da integral definida.
Isso dará o valor numérico final da integral. Para obter o valor exato, você precisaria calcular os valores das funções trigonométricas nos pontos específicos e realizar as operações. Mas, de forma geral, o processo para resolver a integral está completo.
Resposta
A integral definida de
de 1 a 25 resulta na expressão:
Para obter o valor numérico final, substitua
por 25 e 1 nas expressões e calcule a diferença.
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tais que
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas.
e
, para
.
Calcule as integrais iteradas.