.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de multiplicada por , no intervalo de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções trigonométricas e técnicas como a integração por partes e uso de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte trigonométrica da integral. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que multiplica seno por cosseno:
Aqui, e , então:

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral original, ficamos com:
Isso separa a integral em duas partes mais simples:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais usando a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos aplicar isso para cada integral separadamente.

Passo 5

Primeira Integral:
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando integração por partes:

Passo 6

Segunda Integral:
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Agora, substituindo as integrais encontradas de volta na expressão original:

Passo 8

Vamos calcular cada termo nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Finalmente, subtraímos o resultado em do resultado em e multiplicamos por para obter o valor da integral definida.
Isso dará o valor numérico final da integral. Para obter o valor exato, você precisaria calcular os valores das funções trigonométricas nos pontos específicos e realizar as operações. Mas, de forma geral, o processo para resolver a integral está completo.

Resposta

A integral definida de de 1 a 25 resulta na expressão:
Para obter o valor numérico final, substitua por 25 e 1 nas expressões e calcule a diferença.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido obtido por rotacionar, em torno do eixo y. conjunto dos pares tais que
.
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas. e , para .
Calcule as integrais iteradas.