Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu:
Esse tipo de integral pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente às integrais iteradas. Para resolver, vamos fazer as integrais uma de cada vez, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Aqui, percebemos que a expressão está no denominador, e temos um no numerador que pode ajudar na substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar essa integral. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos na integral:
A integral se simplifica para:

Passo 4

Voltando à variável original , temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral pode ser separada em duas partes:

Passo 6

Calculamos cada parte:

Passo 7

Subtraímos os resultados:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas. e , para .
.
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas. e .
Calcule as integrais duplas. é a região do primeiro quadrante compreendida por e .