Calcule as integrais iteradas. integral0^1 integral0^1 x(x y+1)^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu:
integral0^1 integral0^1 x(xy + 1)^2 , dy , dx
Esse tipo de integral pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente às integrais iteradas. Para resolver, vamos fazer as integrais uma de cada vez, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 x(xy + 1)^2 , dy :
Aqui, percebemos que a expressão está no denominador, e temos um no numerador que pode ajudar na substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar essa integral. Seja:
u = xy + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a dudy = x Rightarrow dy = dux :
integral xu^2 cdot dux = integral 1u^2 , du
Agora, substituímos na integral:
integral 1u^2 , du = -1u + C
A integral se simplifica para:

Passo 4

Voltando à variável original -1xy + 1 + C , temos:
[-1x(1) + 1] - [-1x(0) + 1] = -1x + 1 + 1
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 - 1x + 1 a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (1 - 1x + 1) , dx
Essa integral pode ser separada em duas partes:
integral0^1 1 , dx - integral0^1 1x + 1 , dx

Passo 6

Calculamos cada parte:

Passo 7

Subtraímos os resultados:
1 - ln(2)

Resposta

A integral dupla vale .

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