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Passo 1

Estamos resolvendo a integral . Vamos usar o conteúdo de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que, multiplicados, dão e, somados, dão . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Substituímos os valores de e na expressão de frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais resultam em logaritmos:

Passo 8

Por fim, multiplicamos toda a expressão por (que é ):
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral vale:

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Calcule o volume do sólido obtido por rotacionar, em torno do eixo y. conjunto dos pares tais que
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