Calcule o volume do sólido obtido por rotacionar, em torno do eixo y. conjunto dos pares
tais que
Passo 1
Vamos calcular o volume de um sólido que resulta da rotação em torno do eixo
da região formada pelos pares
onde
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros.
Passo 2
O método dos cilindros (ou cascas cilíndricas) é útil quando rotacionamos uma região em torno de um eixo vertical, como o eixo
. Esse método envolve integrar a área de pequenas “cascas” cilíndricas que compõem o sólido.
Passo 3
Primeiro, identificamos a função que define a região:
. O intervalo de integração será de
a
. A fórmula para o volume pelo método dos cilindros é:
Onde
é a altura da casca em cada ponto
. Neste caso, a altura da casca é
.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Distribuindo
:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Primeiro, calculamos
usando integração por partes:
Aplicando os limites de
a
:
Agora, calculamos
:
Resposta
Substituindo os valores encontrados:
Aproximando os valores:
Exercícios relacionados
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas.
e
, para
.