Calcule o volume do sólido obtido por rotacionar, em torno do eixo y. conjunto dos pares tais que

Passo 1

Vamos calcular o volume de um sólido que resulta da rotação em torno do eixo da região formada pelos pares onde e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros.

Passo 2

O método dos cilindros (ou cascas cilíndricas) é útil quando rotacionamos uma região em torno de um eixo vertical, como o eixo . Esse método envolve integrar a área de pequenas “cascas” cilíndricas que compõem o sólido.

Passo 3

Primeiro, identificamos a função que define a região: . O intervalo de integração será de a . A fórmula para o volume pelo método dos cilindros é:
Onde é a altura da casca em cada ponto . Neste caso, a altura da casca é .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Distribuindo :

Passo 5

Vamos separar a integral:
Primeiro, calculamos usando integração por partes:
Aplicando os limites de a :
Agora, calculamos :

Resposta

Substituindo os valores encontrados:
Aproximando os valores:
ú

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Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas. e , para .