(1,25) integral1^2 x raiz1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida de de 1 a 2. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar lembrar como fazer essa substituição para simplificar a integral e encontrar a área sob essa curva entre esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a conta. Olha só, temos u = 1 + x^2 dentro da raiz, então vamos chamar essa parte de dudx = 2x implies du = 2x , dx . Então:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Percebeu? Isso é útil porque temos na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de x , dx = du2 . Do passo anterior, conseguimos que integral1^2 x raiz1 + x^2 , dx = integralu(1)^u(2) raizu cdot du2 , então:
u = 1 + (1)^2 = 2
Substituindo na integral original:
u = 1 + (2)^2 = 5
Precisamos agora calcular os novos limites de integração. Quando 12 integral2^5 raizu , du :
E quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 . Sabemos que 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 , e a integral de é . Então:
Agora, multiplicamos pelo que estava na frente:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 5:
13 [ u^3/2 ]2^5 = 13 (5^3/2 - 2^3/2)
Calculando cada termo:
5^3/2 = 5 raiz5 e 2^3/2 = 2 raiz2
Então:
13 (5 raiz5 - 2 raiz2)

Resposta

A integral definida de 13 (5 raiz5 - 2 raiz2) de 1 a 2 é:

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