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Mostre que
é uma base de
. Encontre
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que o conjunto
é uma base para o espaço das polinômios de grau até 3, que a gente chama de
. Depois, precisamos encontrar as coordenadas do polinômio
nessa base. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e combinação linear, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra um conjunto ser uma base de
, ele precisa ter exatamente 4 elementos (já que a dimensão de
é 4) e ser linearmente independente. Vamos verificar se
atende a esses critérios.
Passo 3
Para testar a independência linear, vamos assumir que uma combinação linear dos vetores de
é igual ao polinômio zero. Ou seja:
Passo 4
Expandindo essa expressão, temos:
Isso simplifica pra:
Passo 5
Para que esse polinômio seja zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
Da equação 4:
Substituindo
e
na equação 2:
Finalmente, da equação 1:
Passo 7
Como a única solução para o sistema é
, os vetores de
são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4,
é uma base de
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Queremos encontrar escalares
tais que:
Passo 9
Explicando melhor, precisamos resolver para
nesse sistema. Vamos expandir a equação:
Simplificando:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
Da equação 4:
Substituindo
e
na equação 2:
Finalmente, da equação 1: