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Mostre que é uma base de . Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que o conjunto é uma base para o espaço das polinômios de grau até 3, que a gente chama de . Depois, precisamos encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e combinação linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra um conjunto ser uma base de , ele precisa ter exatamente 4 elementos (já que a dimensão de é 4) e ser linearmente independente. Vamos verificar se atende a esses critérios.

Passo 3

Para testar a independência linear, vamos assumir que uma combinação linear dos vetores de é igual ao polinômio zero. Ou seja:

Passo 4

Expandindo essa expressão, temos:
Isso simplifica pra:

Passo 5

Para que esse polinômio seja zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
Da equação 4:
Substituindo e na equação 2:
Finalmente, da equação 1:

Passo 7

Como a única solução para o sistema é , os vetores de são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, é uma base de .

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base . Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 9

Explicando melhor, precisamos resolver para nesse sistema. Vamos expandir a equação:
Simplificando:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
Da equação 4:
Substituindo e na equação 2:
Finalmente, da equação 1:

Resposta

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