25
Mostre que beta=1,2+x, 3 x-x^2, x-x^3 é uma base de mathscrP3. Encontre [1+x+x^2+x^3]beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que o conjunto beta = 1, 2+x, 3x - x^2, x - x^3 é uma base para o espaço das polinômios de grau até 3, que a gente chama de mathscrP3. Depois, precisamos encontrar as coordenadas do polinômio 1 + x + x^2 + x^3 nessa base. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e combinação linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra um conjunto ser uma base de mathscrP3, ele precisa ter exatamente 4 elementos (já que a dimensão de mathscrP3 é 4) e ser linearmente independente. Vamos verificar se beta atende a esses critérios.

Passo 3

Para testar a independência linear, vamos assumir que uma combinação linear dos vetores de beta é igual ao polinômio zero. Ou seja:
c1 cdot 1 + c2 cdot (2 + x) + c3 cdot (3x - x^2) + c4 cdot (x - x^3) = 0

Passo 4

Expandindo essa expressão, temos:
c1 + c2 cdot 2 + c2 cdot x + c3 cdot 3x - c3 cdot x^2 + c4 cdot x - c4 cdot x^3 = 0
Isso simplifica pra:
(c1 + 2c2) + (c2 + 3c3 + c4)x + (-c3)x^2 + (-c4)x^3 = 0

Passo 5

Para que esse polinômio seja zero para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
  1. c1 + 2c2 = 0
  2. c2 + 3c3 + c4 = 0
  3. -c3 = 0
  4. -c4 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da equação 3: c3 = 0
Da equação 4: c4 = 0
Substituindo c3 e c4 na equação 2: c2 = 0
Finalmente, da equação 1: c1 = 0

Passo 7

Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = c4 = 0, os vetores de beta são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, beta é uma base de mathscrP3.

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas de 1 + x + x^2 + x^3 na base beta. Queremos encontrar escalares a1, a2, a3, a4 tais que:
1 + x + x^2 + x^3 = a1 cdot 1 + a2 cdot (2 + x) + a3 cdot (3x - x^2) + a4 cdot (x - x^3)

Passo 9

Explicando melhor, precisamos resolver para a1, a2, a3, a4 nesse sistema. Vamos expandir a equação:
1 + x + x^2 + x^3 = a1 + 2a2 + a2x + 3a3x - a3x^2 + a4x - a4x^3
Simplificando:
( a1 + 2a2 ) + ( a2 + 3a3 + a4 )x + ( -a3 )x^2 + ( -a4 )x^3 = 1 + x + x^2 + x^3

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
  1. a1 + 2a2 = 1
  2. a2 + 3a3 + a4 = 1
  3. -a3 = 1
  4. -a4 = 1

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da equação 3: a3 = -1
Da equação 4: a4 = -1
Substituindo a3 e a4 na equação 2:
a2 + 3(-1) + (-1) = 1
a2 - 3 -1 = 1
a2 = 5
Finalmente, da equação 1:
a1 + 2(5) = 1
a1 + 10 = 1
a1 = -9

Resposta

[1 + x + x^2 + x^3]beta = -9 5 -1 -1

Exercícios relacionados