Considere T: mathscrP2 R^3 dada por p(t) mapsto(p(1), p(0), p(1)).
(a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a transformação é linear. A matéria envolvida aqui é transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas principais: se preserva a adição e se preserva a multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma transformação é linear. Uma transformação entre espaços vetoriais e é linear se, para todos os vetores e para todo escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Preservação da adição:
  2. Preservação da multiplicação por escalar:
Nossa missão é verificar essas duas condições para a transformação dada por .

Passo 3

Vamos começar verificando a preservação da adição. Suponha que temos dois polinômios T(p(t) + q(t)) = T(p(t)) + T(q(t)) e T(p(t) + q(t)) = ((p + q)(1), (p + q)(0), (p + q)(1)) = (p(1) + q(1), p(0) + q(0), p(1) + q(1)) em T(p(t)) + T(q(t)) = (p(1), p(0), p(1)) + (q(1), q(0), q(1)) = (p(1) + q(1), p(0) + q(0), p(1) + q(1)) . Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Agora, calculando o lado direito:
Vemos que os dois lados são iguais, então a condição de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação por um escalar. Seja T(c cdot p(t)) = c cdot T(p(t)) um escalar e T(c cdot p(t)) = ( (c cdot p)(1), (c cdot p)(0), (c cdot p)(1) ) = (c cdot p(1), c cdot p(0), c cdot p(1)) um polinômio em c cdot T(p(t)) = c cdot (p(1), p(0), p(1)) = (c cdot p(1), c cdot p(0), c cdot p(1)) . Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, então a condição de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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