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Seja e subespaço vetorial. Determine a dimensão de e encontre uma base de que contenha o vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui estamos lidando com subespaços vetoriais em álgebra linear. O enunciado nos dá um conjunto definido por duas equações e pede para a gente descobrir a dimensão de e encontrar uma base que inclui o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e bases de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem . Temos duas equações:
Essas equações relacionam as componentes dos vetores em .

Passo 3

Vamos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Podemos escolher como variáveis livres, e expressar em função delas.
Da primeira equação , podemos isolar :
Mas para simplificar, vamos escolher como livre também. Assim, fica:
Da segunda equação , isolamos :

Passo 4

Agora, vamos expressar nosso vetor em termos das variáveis livres e :
ééê
Então, podemos representar qualquer vetor em como:

Passo 5

Agora, vamos escrever isso de forma vetorial, separando os termos que dependem de , e :
Isso mostra que todo vetor em é uma combinação linear desses três vetores.

Passo 6

Então, uma base para pode ser formada por esses três vetores:

Passo 7

Agora, precisamos garantir que a base contenha o vetor . Vamos verificar se esse vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base que encontramos.
Vamos resolver a equação:
Isso dá o sistema de equações:
Percebemos que implica , mas isso não coincide com . Portanto, o vetor não está na base que encontramos.

Passo 8

Para incluir o vetor na base, vamos substituir um dos vetores da base original por ele. Verificamos a dependência linear e ajustamos a base:
Vamos substituir o terceiro vetor da base pelo vetor .
Então, a nova base fica:

Resposta

A dimensão de é 3 e uma base de que contém o vetor é:

Exercícios relacionados

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Mostre que é uma base de . Encontre .
Sejam os pontos e . Determine o vetor nos seguintes casos
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
Considere dada por .
(a) Mostre que é uma transformação linear.
Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes (não singular) e (diagonal) tais que .