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Seja W=(x, y, z, s, r) in R^5 ; x-y+z=0 e r-3 s=0 subespaço vetorial. Determine a dimensão de W e encontre uma base de W que contenha o vetor (1,2,1,3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui estamos lidando com subespaços vetoriais em álgebra linear. O enunciado nos dá um conjunto definido por duas equações e pede para a gente descobrir a dimensão de e encontrar uma base que inclui o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e bases de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem x - y + z = 0 r - 3s = 0 . Temos duas equações:
Essas equações relacionam as componentes dos vetores em .

Passo 3

Vamos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Podemos escolher x = y - z como variáveis livres, e expressar x = y - z em função delas.
Da primeira equação r = 3s , podemos isolar :
Mas para simplificar, vamos escolher como livre também. Assim, fica:
Da segunda equação , isolamos :

Passo 4

Agora, vamos expressar nosso vetor x = y - z (como z também é livre, vamos mantê-lo livre) em termos das variáveis livres r = 3s e (y - z, y, z, s, 3s) :
ééê
Então, podemos representar qualquer vetor em como:

Passo 5

Agora, vamos escrever isso de forma vetorial, separando os termos que dependem de =y cdot (1, 1, 0, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0, 0) + s cdot (0, 0, 0, 1, 3) , e :
Isso mostra que todo vetor em é uma combinação linear desses três vetores.

Passo 6

Então, uma base para , 1 1 0 0 0, -1 0 1 0 0, 0 0 0 1 3 , pode ser formada por esses três vetores:

Passo 7

Agora, precisamos garantir que a base contenha o vetor a cdot 1 1 0 0 0 + b cdot -1 0 1 0 0 + c cdot 0 0 0 1 3 = 1 2 1 3 1 . Vamos verificar se esse vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base que encontramos.
Vamos resolver a equação:
a - b = 1 a = 2 b = 1 c = 3 3c = 1
Isso dá o sistema de equações:
Percebemos que implica , mas isso não coincide com . Portanto, o vetor não está na base que encontramos.

Passo 8

Para incluir o vetor 0 0 0 1 3 na base, vamos substituir um dos vetores da base original por ele. Verificamos a dependência linear e ajustamos a base:
Vamos substituir o terceiro vetor da base 1 2 1 3 1 pelo vetor , 1 1 0 0 0, -1 0 1 0 0, 1 2 1 3 1 , .
Então, a nova base fica:

Resposta

A dimensão de , 1 1 0 0 0, -1 0 1 0 0, 1 2 1 3 1 , é 3 e uma base de que contém o vetor é:

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