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Seja e subespaço vetorial. Determine a dimensão de e encontre uma base de que contenha o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui estamos lidando com subespaços vetoriais em álgebra linear. O enunciado nos dá um conjunto definido por duas equações e pede para a gente descobrir a dimensão de e encontrar uma base que inclui o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e bases de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem . Temos duas equações:
Essas equações relacionam as componentes dos vetores em .
Passo 3
Vamos resolver o sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Podemos escolher como variáveis livres, e expressar em função delas.
Da primeira equação , podemos isolar :
Mas para simplificar, vamos escolher como livre também. Assim, fica:
Da segunda equação , isolamos :
Passo 4
Agora, vamos expressar nosso vetor em termos das variáveis livres e :
Então, podemos representar qualquer vetor em como:
Passo 5
Agora, vamos escrever isso de forma vetorial, separando os termos que dependem de , e :
Isso mostra que todo vetor em é uma combinação linear desses três vetores.
Passo 6
Então, uma base para pode ser formada por esses três vetores:
Passo 7
Agora, precisamos garantir que a base contenha o vetor . Vamos verificar se esse vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base que encontramos.
Vamos resolver a equação:
Isso dá o sistema de equações:
Percebemos que implica , mas isso não coincide com . Portanto, o vetor não está na base que encontramos.
Passo 8
Para incluir o vetor na base, vamos substituir um dos vetores da base original por ele. Verificamos a dependência linear e ajustamos a base:
Vamos substituir o terceiro vetor da base pelo vetor .
Então, a nova base fica:
Resposta
A dimensão de é 3 e uma base de que contém o vetor é: