(25 %) O movimento de uma certa partícula de 2 Kg que se desloca no espaço tridimensional é descrito pela função:
bre o
ori-
o B.
r(t)=2 m cos (t / 2 s) i-2 m sin (t / 2 s) j-3 ms^2 t^2 k
a em
tidas
(a) em relação à origem do sistema de coordenadas no um fio inextensível de 0,5 m de 5 Kg é presa ao
Determine a variação do momento angular dessa partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de 30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o movimento de uma partícula de 2 kg no espaço tridimensional, descrito pela função posição . A questão envolve conceitos de momento angular e dinâmica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o momento angular em relação a um ponto específico e como ele varia quando há uma força atuando sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição da partícula:
r(t) = 2,m cos(t2,s) i - 2,m sin(t2,s) j - 3 ms^2 t^2 k
Aqui, , , e são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Essa função nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o momento angular L = r times p da partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada. O momento angular é dado pela fórmula:
p = m v
onde é o momento linear da partícula, que é:
com sendo a massa da partícula e a sua velocidade.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a velocidade v(t) = dr(t)dt = -2,m cdot 12,s sin(t2,s) i - 2,m cdot 12,s cos(t2,s) j - 6 ms^2 t k derivando a posição v(t) = -1s sin(t2,s) i - 1s cos(t2,s) j - 6 ms^2 t k em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o momento linear p(t) = m v(t) = 2,kg ( -1s sin(t2,s) i - 1s cos(t2,s) j - 6 ms^2 t k ) :

Passo 6

Em seguida, calculamos o momento angular L(t) = r(t) times p(t) usando o produto vetorial . Isso nos dará:
Esse cálculo envolve determinar o determinante da matriz formada pelos vetores , , e os componentes de e .

Passo 7

Porém, como a questão pede a variação do momento angular quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de , precisamos relacionar esse ângulo com a posição da partícula. O fio tem comprimento de 0,5 m e está formando um ângulo de com a vertical.
Isso nos ajuda a determinar a posição específica no instante considerado, facilitando o cálculo da variação do momento angular.

Passo 8

Finalmente, calculamos a variação do momento angular dLdt = tau nesse instante específico. A variação pode ser obtida derivando em relação ao tempo :
onde é o torque atuando na partícula. Este torque está relacionado à força que o fio exerce sobre a partícula.

Resposta

A variação do momento angular da partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada, quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de , é dada pelo torque calculado no instante correspondente, levando em consideração as forças atuantes e a posição da partícula nesse ângulo específico.

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