movimento de uma certa partícula de 2 Kg que se desloca no espaço tridimensional é descrito pela função:
bre o
ori-
o
.
em
tidas
(a) em relação à origem do sistema de coordenadas no um fio inextensível de
de 5 Kg é presa ao
Determine a variação do momento angular dessa partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de
.
bre o
ori-
o
tidas
(a) em relação à origem do sistema de coordenadas no um fio inextensível de
Determine a variação do momento angular dessa partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o movimento de uma partícula de 2 kg no espaço tridimensional, descrito pela função posição
. A questão envolve conceitos de momento angular e dinâmica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o momento angular em relação a um ponto específico e como ele varia quando há uma força atuando sobre a partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função posição da partícula:
Aqui,
,
, e
são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Essa função nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o momento angular
da partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada. O momento angular é dado pela fórmula:
onde
é o momento linear da partícula, que é:
com
sendo a massa da partícula e
a sua velocidade.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a velocidade
derivando a posição
em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o momento linear
:
Passo 6
Em seguida, calculamos o momento angular
usando o produto vetorial
. Isso nos dará:
Esse cálculo envolve determinar o determinante da matriz formada pelos vetores
,
,
e os componentes de
e
.
Passo 7
Porém, como a questão pede a variação do momento angular quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de
, precisamos relacionar esse ângulo com a posição da partícula. O fio tem comprimento de 0,5 m e está formando um ângulo de
com a vertical.
Isso nos ajuda a determinar a posição específica
no instante considerado, facilitando o cálculo da variação do momento angular.
Passo 8
Finalmente, calculamos a variação do momento angular
nesse instante específico. A variação pode ser obtida derivando
em relação ao tempo
:
onde
é o torque atuando na partícula. Este torque está relacionado à força que o fio exerce sobre a partícula.
Resposta
A variação do momento angular da partícula em relação ao ponto onde ela está amarrada, quando o ângulo entre o fio e a direção vertical é de
, é dada pelo torque
calculado no instante correspondente, levando em consideração as forças atuantes e a posição da partícula nesse ângulo específico.