Determine a velocidade e aceleração na base polar para o movimento circular uniforme e o movimento circular uniformemente variado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a velocidade e a aceleração usando a base polar para dois tipos de movimentos: o movimento circular uniforme (quando a velocidade angular é constante) e o movimento circular uniformemente variado (quando a velocidade angular muda de forma constante). Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores de velocidade e aceleração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que são coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos o raio (distância do ponto à origem) e o ângulo (posição angular). A velocidade e a aceleração em coordenadas polares têm componentes radiais ( ) e tangenciais ( ).

Passo 3

Vamos começar determinando as expressões gerais para a velocidade e a aceleração em coordenadas polares.
A velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:
v = drdt er + r dthetadt etheta
Aqui, a = ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 ) er + ( r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt ) etheta é a velocidade radial e é a velocidade tangencial.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Aqui, temos componentes radiais e tangenciais da aceleração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao movimento circular uniforme. Nesse caso:
  • Raio constante: v = 0 cdot er + r omega etheta = r omega etheta não muda com o tempo, então a = ( 0 - r omega^2 ) er + ( r cdot 0 + 2 cdot 0 cdot omega ) etheta = -r omega^2 er e .
  • Velocidade angular constante: (constante) e .
Substituindo na expressão da velocidade:
Ou seja, a velocidade é totalmente na direção tangencial.
Para a aceleração:
A aceleração é totalmente radial, apontando para o centro (aceleração centrípeta).

Passo 5

Agora, vamos para o movimento circular uniformemente variado. Aqui, não apenas o ângulo muda, mas também a velocidade angular varia com o tempo. Vamos chamar a aceleração angular de domegadt = alpha , onde:
v = 0 cdot er + r omega etheta = r omega etheta
Como o raio a = ( 0 - r omega^2 ) er + ( r alpha + 2 cdot 0 cdot omega ) etheta = -r omega^2 er + r alpha etheta ainda é constante ( e ), substituímos na expressão da velocidade:
A velocidade ainda é na direção tangencial, mas agora pode mudar com o tempo.
Para a aceleração:
Agora, além da aceleração centrípeta, temos uma aceleração tangencial devido à variação da velocidade angular.

Resposta

  • Movimento Circular Uniforme:
    v = r omega etheta
    a = -r omega^2 er
  • Movimento Circular Uniformemente Variado:
    v = r omega etheta
    a = -r omega^2 er + r alpha etheta

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