Determine a velocidade e aceleração na base polar para o movimento circular uniforme e o movimento circular uniformemente variado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a velocidade e a aceleração usando a base polar para dois tipos de movimentos: o movimento circular uniforme (quando a velocidade angular é constante) e o movimento circular uniformemente variado (quando a velocidade angular muda de forma constante). Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores de velocidade e aceleração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos o raio
(distância do ponto à origem) e o ângulo
(posição angular). A velocidade e a aceleração em coordenadas polares têm componentes radiais (
) e tangenciais (
).
Passo 3
Vamos começar determinando as expressões gerais para a velocidade e a aceleração em coordenadas polares.
A velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:
Aqui,
é a velocidade radial e
é a velocidade tangencial.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Aqui, temos componentes radiais e tangenciais da aceleração.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso ao movimento circular uniforme. Nesse caso:
- Raio constante:
não muda com o tempo, então e . - Velocidade angular constante:
(constante) e .
Substituindo na expressão da velocidade:
Ou seja, a velocidade é totalmente na direção tangencial.
Para a aceleração:
A aceleração é totalmente radial, apontando para o centro (aceleração centrípeta).
Passo 5
Agora, vamos para o movimento circular uniformemente variado. Aqui, não apenas o ângulo muda, mas também a velocidade angular varia com o tempo. Vamos chamar a aceleração angular de
, onde:
Como o raio
ainda é constante (
e
), substituímos na expressão da velocidade:
A velocidade ainda é na direção tangencial, mas agora
pode mudar com o tempo.
Para a aceleração:
Agora, além da aceleração centrípeta, temos uma aceleração tangencial devido à variação da velocidade angular.
Resposta
-
Movimento Circular Uniforme:
-
Movimento Circular Uniformemente Variado: