(1.25 ponto) Ache o volume da regiāo entre ơ gráfico de
e o plano-
Passo 1
Beleza, a gente precisa descobrir o volume da região que fica entre o gráfico da função
e o plano
. Isso envolve usar integrais duplas, que fazem parte do Cálculo Integral. Vamos precisar identificar a área onde vamos integrar e escolher a melhor forma de calcular, que nesse caso vai ser usando coordenadas polares por causa da simetria da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da região que estamos analisando. A equação
representa um paraboloide que abre para baixo. Para encontrar onde esse paraboloide toca o plano
(onde
), resolvemos:
Isso é um círculo com raio 5 no plano
. Então, nossa área de integração é esse círculo de raio 5.
Passo 3
Como a região é um círculo, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
. A função
em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume
:
Aqui,
varia de 0 a 5 (o raio do círculo) e
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a
:
Calculando nos limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
O volume da região entre o gráfico de
e o plano
é
unidades cúbicas.
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Verdadeiro ou falso? Justifique!
(m) é raiz do polinômio
.
(m)
Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
2)
2)
Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
3)
3)
Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por
e
. Justifique todo o processo adotado.