(1.25 ponto) Ache o volume da regiāo entre ơ gráfico de f(x, y) = 25 - x^2 - y^2 e o plano- x y

Passo 1

Beleza, a gente precisa descobrir o volume da região que fica entre o gráfico da função e o plano . Isso envolve usar integrais duplas, que fazem parte do Cálculo Integral. Vamos precisar identificar a área onde vamos integrar e escolher a melhor forma de calcular, que nesse caso vai ser usando coordenadas polares por causa da simetria da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região que estamos analisando. A equação representa um paraboloide que abre para baixo. Para encontrar onde esse paraboloide toca o plano (onde ), resolvemos:
Isso é um círculo com raio 5 no plano . Então, nossa área de integração é esse círculo de raio 5.

Passo 3

Como a região é um círculo, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área em coordenadas polares é . A função em coordenadas polares fica:

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, varia de 0 a 5 (o raio do círculo) e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O volume da região entre o gráfico de e o plano é unidades cúbicas.

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