( 1.25 ponto) Calcule a integral dupla abaixo, onde
é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos calcular uma integral dupla onde a região
é um disco de raio 2 centrado na origem. O que isso significa é que estamos somando os valores de
em todos os pontos dentro desse círculo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos as relações:
E a área diferencial
em polares é
. Também,
. Então, nossa integral dupla fica:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna com respeito a
:
Então, nossa integral agora é:
Passo 4
Finalmente, resolvemos a integral com respeito a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Pra os itens a seguir considere a função
.
Determine e esboce o domínio da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Desenhe as superfícies paramétricas
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
Pra os itens a seguir considere a função
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de