( 1.25 ponto) Calcule a integral dupla abaixo, onde é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral dupla onde a região é um disco de raio 2 centrado na origem. O que isso significa é que estamos somando os valores de em todos os pontos dentro desse círculo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos as relações:
E a área diferencial em polares é . Também, . Então, nossa integral dupla fica:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna com respeito a :
Então, nossa integral agora é:

Passo 4

Finalmente, resolvemos a integral com respeito a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Pra os itens a seguir considere a função .
Determine e esboce o domínio da função.
Desenhe as superfícies paramétricas
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por .
Pra os itens a seguir considere a função .
Esboce o gráfico de .