( 1.25 ponto) Calcule a integral dupla abaixo, onde R é o disco de raio 2 centrado na origem.
integral duplaR(x^2+y^2) d A

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral dupla onde a região é um disco de raio 2 centrado na origem. O que isso significa é que estamos somando os valores de em todos os pontos dentro desse círculo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos as relações:
x = r cos theta e y = r sin theta
E a área diferencial integral duplaR (x^2+y^2) dA = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta em polares é integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta . Também, . Então, nossa integral dupla fica:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna com respeito a integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4 :
integral0^2pi 4 , dtheta
Então, nossa integral agora é:

Passo 4

Finalmente, resolvemos a integral com respeito a integral0^2pi 4 , dtheta = 4 cdot [ theta ]0^2pi = 4 cdot 2pi = 8pi :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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