Pra os itens a seguir considere a função .
Determine e esboce o domínio da função.

Passo 1

Então, a gente tem a função . O que precisamos fazer aqui é determinar o domínio dessa função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os pares que fazem a expressão dentro da raiz ser válida, ou seja, não resultar em números imaginários. Vamos ver como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma raiz quadrada só é definida para números não negativos. Isso significa que o que está dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 3

Vamos reorganizar essa desigualdade para entender melhor:
Isso quer dizer que, para cada valor de , o valor de deve ser tal que seja pelo menos .

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Isso indica que deve estar acima ou abaixo das curvas e .

Passo 5

Analisando a expressão , percebemos que para que ela seja real, também deve ser não negativo:
Portanto, deve ser maior ou igual a 1 ou menor ou igual a -1.

Passo 6

Com tudo isso, o domínio da função é formado por todos os pares tais que:
Isso forma uma região no plano que está fora das duas hipérboles e , incluindo essas curvas.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que e ou . Graficamente, esse domínio corresponde às regiões fora das hipérboles e no plano .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
( 1.25 ponto) Calcule a integral dupla abaixo, onde é o disco de raio 2 centrado na origem.
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onde D é limitado por .