Pra os itens a seguir considere a função
.
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como elas se comportam no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender onde essa função está definida e como ela se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar onde a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, ou seja,
, precisa ser maior ou igual a zero:
Isso nos garante que o valor dentro da raiz é real e não imaginário.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a desigualdade para entender melhor:
Isso significa que para qualquer valor de
e
que satisfaça essa condição, a função estará definida. Vamos visualizar isso no plano
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns cortes específicos:
- Quando
:
Isso representa uma função parabólica em relação a
.
- Quando
:
Aqui,
, então
está no intervalo
. Isso dá uma semicônica ao longo do eixo
.
Passo 5
Com base nesses cortes, percebemos que o gráfico da função é uma superfície que se parece com um cilindro hiperbólico deslocado. Ela abre ao longo do eixo
devido ao termo
e está limitada em
por causa do
.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície que se assemelha a um cilindro hiperbólico aberto ao longo do eixo
e limitado ao longo de
, com a base deslocada devido ao termo constante
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
( 1.25 ponto) Calcule a integral dupla abaixo, onde
é o disco de raio 2 centrado na origem.
Expresse a integral em coorderiadas cilíndricas.
Calcule os limites abaixo.
.