Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
integral duplaD(4 x^3-9 x^2 y^2) d A onde D é limitado por 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla da função sobre a região , que é um retângulo limitado por e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Assim, temos:
integraly=1^2 ( integralx=0^1 (4x^3 - 9x^2y^2) dx ) dy

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral0^1 (4x^3 - 9x^2y^2) dx :
[ x^4 - 3y^2x^3 ]0^1 = (1^4 - 3y^2 cdot 1^3) - (0 - 0) = 1 - 3y^2
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos de a :

Passo 4

Com o resultado da integral interna, agora vamos integrar em relação a integral1^2 (1 - 3y^2) dy :
[ y - y^3 ]1^2 = (2 - 8) - (1 - 1) = -6 - 0 = -6
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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