lim theta ->0(cos theta -1 ) /(sin theta )=

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolver vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em uma forma indeterminada como .

Passo 2

Vamos verificar se o limite realmente dá uma forma indeterminada. Calculando os valores quando cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0 tende a 0:
sin(0) = 0
Portanto, temos , que é uma indeterminação. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se f(theta) = cos theta - 1 Rightarrow f'(theta) = -sin theta resulta em g(theta) = sin theta Rightarrow g'(theta) = cos theta ou limtheta to 0 cos theta - 1sin theta = limtheta to 0 -sin thetacos theta , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos derivar:
Agora, aplicamos a regra:

Passo 4

Agora, calculamos o novo limite:
limtheta to 0 -sin thetacos theta = -sin(0)cos(0) = 01 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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