( 1,25 pontos ) Calcule a integral
integral0^1(1t+1 i+1t^2+1 j+tt^2+1 k) d t

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral vetorial juntos. O exercício pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes, cada uma envolvendo funções racionais em . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral em vetores, onde a gente integra cada componente separadamente. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada uma das funções que acompanham os vetores , e de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de um vetor é feita integrando cada componente desse vetor individualmente. Ou seja:
integral0^1(1t+1 i + 1t^2+1 j + tt^2+1 k) dt = ( integral0^1 1t+1 dt ) i + ( integral0^1 1t^2+1 dt ) j + ( integral0^1 tt^2+1 dt ) k
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Integral da componente integral 1t+1 dt :
integral 1t+1 dt = ln|t+1| + C
Essa é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
ln(1+1) - ln(0+1) = ln(2) - ln(1) = ln(2) - 0 = ln(2)
Avaliada de 0 a 1:
integral 1t^2+1 dt
Integral da componente integral 1t^2+1 dt = tan^-1(t) + C :
tan^-1(1) - tan^-1(0) = pi4 - 0 = pi4
Essa é a integral que resulta na função arco-tangente:
integral tt^2+1 dt
Avaliada de 0 a 1:
integral tt^2+1 dt = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(t^2+1) + C
Integral da componente 12 ln(1^2+1) - 12 ln(0^2+1) = 12 ln(2) - 12 ln(1) = 12 ln(2) - 0 = 12 ln(2) :
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:
Avaliada de 0 a 1:

Resposta

A integral resulta no vetor:
ln(2) , i + pi4 , j + 12 ln(2) , k

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