( 1,25 pontos Calcule a integral

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral vetorial juntos. O exercício pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes, cada uma envolvendo funções racionais em . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral em vetores, onde a gente integra cada componente separadamente. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada uma das funções que acompanham os vetores , e de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de um vetor é feita integrando cada componente desse vetor individualmente. Ou seja:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Integral da componente :
Essa é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Avaliada de 0 a 1:
Integral da componente :
Essa é a integral que resulta na função arco-tangente:
Avaliada de 0 a 1:
Integral da componente :
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:
Avaliada de 0 a 1:

Resposta

A integral resulta no vetor:

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