( 1,25 pontos
Calcule a integral
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa integral vetorial juntos. O exercício pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes, cada uma envolvendo funções racionais em
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral em vetores, onde a gente integra cada componente separadamente. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada uma das funções que acompanham os vetores
,
e
de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral de um vetor é feita integrando cada componente desse vetor individualmente. Ou seja:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Integral da componente
:
Essa é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Avaliada de 0 a 1:
Integral da componente
:
Essa é a integral que resulta na função arco-tangente:
Avaliada de 0 a 1:
Integral da componente
:
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Avaliada de 0 a 1:
Resposta
A integral resulta no vetor: