Calcule , onde é dada implicitamente na equação

Passo 1

Beleza, pessoal! O problema pede para calcularmos a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A gente tem que fazer isso sabendo que está definida de forma implícita na equação:
Vamos precisar usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Isso significa que toda essa expressão vale zero.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é uma função de e , então quando derivarmos termos envolvendo , teremos que aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar termo por termo:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que é , e a derivada de é 1.
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, é considerado constante em relação a .
  1. Derivada de em relação a :
Aplicamos a regra do produto, derivando e separadamente.
  1. Derivada de 1 em relação a :

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas e igualamos a zero, já que a derivada de toda a expressão original é zero:

Passo 5

Vamos isolar . Primeiro, agrupamos os termos que contêm :
Isso vem de mover os termos sem para o outro lado da equação.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto de coordenadas .
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
( 1,25 pontos Calcule a integral
(1,25 pontos) Seja uma curva, dada por . Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?