Calcule partial zpartial x, onde z é dada implicitamente na equação z+xy-x y^3+z sen x+1=0

Passo 1

Beleza, pessoal! O problema pede para calcularmos a derivada parcial de z + xy - x y^3 + z sen x + 1 = 0 em relação a , ou seja, . A gente tem que fazer isso sabendo que está definida de forma implícita na equação:
Vamos precisar usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Isso significa que toda essa expressão vale zero.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a ddx(z + xy) = 1y ( partial zpartial x + 1 ) . Lembrando que ddx(-x y^3) = -y^3 é uma função de ddx(z sen x) = sen x cdot partial zpartial x + z cos x e ddx(1) = 0 , então quando derivarmos termos envolvendo , teremos que aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar termo por termo:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que é , e a derivada de é 1.
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, é considerado constante em relação a .
  1. Derivada de em relação a :
Aplicamos a regra do produto, derivando e separadamente.
  1. Derivada de 1 em relação a :

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas e igualamos a zero, já que a derivada de toda a expressão original é zero:

Passo 5

Vamos isolar partial zpartial x ( 1y + sen x ) = y^3 - 1y - z cos x . Primeiro, agrupamos os termos que contêm :
Isso vem de mover os termos sem para o outro lado da equação.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para partial zpartial x = y^3 - 1y - z cos x1y + sen x :

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x = y^3 - 1y - z cos x1y + sen x em relação a é:

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