Calcule
, onde
é dada implicitamente na equação
Passo 1
Beleza, pessoal! O problema pede para calcularmos a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A gente tem que fazer isso sabendo que
está definida de forma implícita na equação:
Vamos precisar usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Isso significa que toda essa expressão vale zero.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
e
, então quando derivarmos termos envolvendo
, teremos que aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar termo por termo:
- Derivada de
em relação a :
Aqui, derivamos
em relação a
, que é
, e a derivada de
é 1.
- Derivada de
em relação a :
Aqui,
é considerado constante em relação a
.
- Derivada de em relação a
:
Aplicamos a regra do produto, derivando
e separadamente.
- Derivada de 1 em relação a
:
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas e igualamos a zero, já que a derivada de toda a expressão original é zero:
Passo 5
Vamos isolar
. Primeiro, agrupamos os termos que contêm
:
Isso vem de mover os termos sem
para o outro lado da equação.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto de coordenadas
.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
( 1,25 pontos
Calcule a integral
(1,25 pontos) Seja
uma curva, dada por
. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando
?