Ëncontur a caploximacge linav (wía vtanglents) da funego
lm vilaras a
. Intunna IS valou dade pefa caprosemagas linear para
. NoB precisa substituir so valo decimal de ln 2 apdros discu undicado. Fale um usboce do gráfico da fun US prócimo du
, da vuta duluminada u indique is valar dado pela vapronmacgo linras de
com velacg la
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a aproximação linear da função
no ponto onde
. A ideia é usar a reta tangente nesse ponto para estimar o valor de
. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e usar a fórmula da aproximação linear. Também vamos precisar do valor decimal de
para substituir na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é aproximação linear. Basicamente, a aproximação linear de uma função
em um ponto
é a reta tangente à função nesse ponto. A fórmula dessa reta é:
Onde:
-
é o valor da função no ponto . -
é a derivada da função no ponto . -
é a diferença entre o ponto onde queremos aproximar e o ponto de tangência.
Passo 3
Vamos calcular
e
para a nossa função
no ponto
.
Primeiro,
. Sabemos que
é aproximadamente 0,6931.
Agora, calculando a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Com esses valores, podemos montar a equação da aproximação linear
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar essa aproximação para estimar
. Substituindo
na equação de
:
Passo 6
Para confirmar, vamos comparar com o valor real de
. Sabemos que
é aproximadamente 0,9163. A aproximação linear nos deu 0,9431, que está bem próxima!
Passo 7
Por fim, no gráfico da função
e da reta tangente
no ponto
, você veria que a reta tangente toca a curva exatamente em
e segue uma direção que facilita a estimativa de valores próximos, como
.
Resposta
A aproximação linear de
usando a reta tangente em
é aproximadamente 0,9431.
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