Ëncontur a caploximacge linav (wía vtanglents) da funego y = ln(x) lm vilaras a x = 2. Intunna IS valou dade pefa caprosemagas linear para x = 2,5. NoB precisa substituir so valo decimal de ln 2 apdros discu undicado. Fale um usboce do gráfico da fun US prócimo du x = 2, da vuta duluminada u indique is valar dado pela vapronmacgo linras de ln(2.5) com velacg la x = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a aproximação linear da função no ponto onde . A ideia é usar a reta tangente nesse ponto para estimar o valor de . Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e usar a fórmula da aproximação linear. Também vamos precisar do valor decimal de para substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é aproximação linear. Basicamente, a aproximação linear de uma função em um ponto é a reta tangente à função nesse ponto. A fórmula dessa reta é:
Onde:
  • é o valor da função no ponto .
  • é a derivada da função no ponto .
  • é a diferença entre o ponto onde queremos aproximar e o ponto de tangência.

Passo 3

Vamos calcular e para a nossa função no ponto .
Primeiro, . Sabemos que é aproximadamente 0,6931.
Agora, calculando a derivada de :
Então, .

Passo 4

Com esses valores, podemos montar a equação da aproximação linear :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar . Substituindo na equação de :

Passo 6

Para confirmar, vamos comparar com o valor real de . Sabemos que é aproximadamente 0,9163. A aproximação linear nos deu 0,9431, que está bem próxima!

Passo 7

Por fim, no gráfico da função e da reta tangente no ponto , você veria que a reta tangente toca a curva exatamente em e segue uma direção que facilita a estimativa de valores próximos, como .

Resposta

A aproximação linear de usando a reta tangente em é aproximadamente 0,9431.

Exercícios relacionados