(1,25 pontos) Seja
uma curva, dada por
. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
no plano
. O lance aqui é descobrir em que ponto essa curva tem a curvatura máxima e entender o que acontece com essa curvatura quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar saber como calcular a curvatura de uma curva no plano e depois analisar os resultados que obtemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a curvatura
de uma curva parametrizada por
. A fórmula para a curvatura em termos de derivadas é:
No nosso caso,
, então temos
. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 3
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar onde a curvatura é máxima, precisamos encontrar o valor de
que maximiza
. Vamos chamar
de função
:
Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, calculamos a derivada
:
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Igualando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Agora que encontramos o valor de
que maximiza a curvatura, vamos analisar o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Observando a expressão da curvatura:
Quando
,
domina sobre 1, então:
Isso significa que a curvatura tende a zero quando
vai para o infinito.
Resposta
A curva
tem curvatura máxima no ponto
. Além disso, quando
tende ao infinito, a curvatura da curva tende a zero.