(1,25 pontos) Seja r: I -> R^2 uma curva, dada por r(x) = < x, e^x >. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x -> infinito ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por no plano . O lance aqui é descobrir em que ponto essa curva tem a curvatura máxima e entender o que acontece com essa curvatura quando tende ao infinito. Para isso, vamos precisar saber como calcular a curvatura de uma curva no plano e depois analisar os resultados que obtemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a curvatura de uma curva parametrizada por . A fórmula para a curvatura em termos de derivadas é:
No nosso caso, , então temos . Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar onde a curvatura é máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza . Vamos chamar de função :
Vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, calculamos a derivada :
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Igualando :
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Agora que encontramos o valor de que maximiza a curvatura, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito.
Observando a expressão da curvatura:
Quando , domina sobre 1, então:
Isso significa que a curvatura tende a zero quando vai para o infinito.

Resposta

A curva tem curvatura máxima no ponto . Além disso, quando tende ao infinito, a curvatura da curva tende a zero.

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