Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . O que isso significa? Queremos descobrir um plano que “encosta” exatamente nessa superfície no ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície nesses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do plano tangente a uma função no ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Elas nos dizem como a função está mudando nas direções de e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Sabemos também que (já que o ponto é ). Agora, substituímos todos esses valores na equação do plano tangente:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Se . seny; . Calcule .
Calcule , onde é dada implicitamente na equação
( 1,25 pontos Calcule a integral