(1,25 pontos) Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral definida de uma função vetorial no intervalo de a . A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos integrar cada uma das componentes vetoriais separadamente usando técnicas de cálculo que envolvem integrais de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Integrando a componente :
Temos que calcular:
Sabemos que a derivada de é , então a integral fica:
Agora, vamos avaliar de a :

Passo 3

Integrando a componente :
Temos que calcular:
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Integrando :
Então, a integral completa fica:
Agora, avaliando de a :
Para :
Para :
Portanto, a integral da componente é:

Passo 4

Integrando a componente :
Temos que calcular:
Aqui, vamos utilizar uma substituição simples. Seja , então:
Reescrevendo a integral:
Substituindo de volta :
Agora, avaliando de a :
Para :
Para :
Portanto, a integral da componente é:

Resposta

A integral calculada é:

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