(1,25 pontos) Calcule a integral
integral0^pi4(sec t tg t i+t cos 2 t j+sen^2 2 t cos 2 t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral definida de uma função vetorial no intervalo de sec t tan t i + t cos 2t j + sin^2 2t cos 2t k a . A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos integrar cada uma das componentes vetoriais separadamente usando técnicas de cálculo que envolvem integrais de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Integrando a componente integral0^pi4 sec t tan t , dt :
Temos que calcular:
integral sec t tan t , dt = sec t + C
Sabemos que a derivada de sec(pi4) - sec(0) = raiz2 - 1 é , então a integral fica:
Agora, vamos avaliar de a :

Passo 3

Integrando a componente integral0^pi4 t cos 2t , dt :
Temos que calcular:
u = t Rightarrow du = dt
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = cos 2t , dt Rightarrow v = 12 sin 2t
integral t cos 2t , dt = t2 sin 2t - 12 integral sin 2t , dt
Aplicando a fórmula de integração por partes integral sin 2t , dt = -12 cos 2t + C :
t2 sin 2t + 14 cos 2t + C
Integrando pi42 sin(pi2) + 14 cos(pi2) = pi8 times 1 + 14 times 0 = pi8 :
0 + 14 cos(0) = 14 times 1 = 14
Então, a integral completa fica:
pi8 - 14 = pi - 28
Agora, avaliando de a :
Para :
Para :
Portanto, a integral da componente é:

Passo 4

Integrando a componente integral0^pi4 sin^2 2t cos 2t , dt :
Temos que calcular:
du = 2 cos 2t , dt Rightarrow du2 = cos 2t , dt
Aqui, vamos utilizar uma substituição simples. Seja integral sin^2 2t cos 2t , dt = 12 integral u^2 , du = 12 times u^33 + C = u^36 + C , então:
sin^3 2t6 + C
Reescrevendo a integral:
sin^3(pi2)6 = 16
Substituindo de volta sin^3(0)6 = 0 :
16 - 0 = 16
Agora, avaliando de a :
Para :
Para :
Portanto, a integral da componente é:

Resposta

A integral calculada é:
( raiz2 - 1 ) i + pi - 28 j + 16 k

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