(1,25 pontos) Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral definida de uma função vetorial no intervalo de
a
. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos integrar cada uma das componentes vetoriais separadamente usando técnicas de cálculo que envolvem integrais de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Integrando a componente
:
Temos que calcular:
Sabemos que a derivada de
é
, então a integral fica:
Agora, vamos avaliar de
a
:
Passo 3
Integrando a componente
:
Temos que calcular:
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Integrando
:
Então, a integral completa fica:
Agora, avaliando de
a
:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral da componente
é:
Passo 4
Integrando a componente
:
Temos que calcular:
Aqui, vamos utilizar uma substituição simples. Seja
, então:
Reescrevendo a integral:
Substituindo de volta
:
Agora, avaliando de
a
:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral da componente
é:
Resposta
A integral calculada é: