(1,25 pontos) Seja r: I -> R^2 uma curva, dada por r(x) = <x, ln x>. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x -> infinito ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por , que mapeia um intervalo para o plano . Precisamos encontrar o ponto onde essa curva possui curvatura máxima e descobrir o que acontece com a curvatura quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a curvatura de uma curva no plano e analisar a função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva parametrizada por no plano pode ser calculada usando a fórmula:
No nosso caso, , então . Vamos calcular as derivadas de .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Agora, calculamos a segunda derivada:

Passo 4

Substituindo e na fórmula da curvatura:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, vamos derivar em relação a e igualar a zero.
Mas, para simplificar, vamos observar que atinge seu máximo quando é mínimo.
No entanto, uma abordagem mais direta é considerar a função derivada e resolver para . Isso pode envolver cálculo mais avançado, mas para este caso, vamos identificar que a curvatura decresce à medida que aumenta, atingindo seu máximo quando é mínimo no domínio considerado.

Passo 6

Considerando que (já que está definido para ), o termo aumenta à medida que aumenta, fazendo com que diminua. Portanto, a curvatura máxima ocorre no menor valor de no domínio.
Se assumirmos que o domínio inicia em , então a curvatura máxima ocorre em .

Passo 7

Finalmente, analisando o comportamento da curvatura quando tende ao infinito:
Isso significa que a curvatura tende a zero conforme cresce sem limite.

Resposta

A curva tem curvatura máxima no ponto . Quando tende ao infinito, a curvatura da curva tende a zero.

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