(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto , no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a rotação de uma partícula fluida em um determinado ponto e instante, utilizando um campo de velocidade definido. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional ou vorticidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo de velocidade no ponto no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional. O rotacional de um campo de velocidade , denotado por , nos dá uma medida da tendência das partículas do fluido de girar em torno de um ponto. Em termos simples, ele nos diz quão “rotativo” está o fluxo no ponto considerado.

Passo 3

Vamos escrever o campo de velocidade dado:
com os valores:
E as variáveis , , em metros, em segundos.

Passo 4

Para encontrar o rotacional , usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 6

Agora, substituímos os valores de , , e as coordenadas do ponto no instante :
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

A rotação da partícula fluida no ponto no instante é:

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Para a função corrente dada por:
Responda o que se pede:
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Dois tanques com água a são conectados por um tubo capilar de 4 mm de diâmetro e de comprimento. A superficie do tanque 1 está 30 cm acima da superficie do tanque 2. Despreze as perdas localizadas. Responda os itens a seguir:
b) Estime a vazão
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante .