(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto
, no instante
.
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a rotação de uma partícula fluida em um determinado ponto e instante, utilizando um campo de velocidade definido. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional ou vorticidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo de velocidade
no ponto
no instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional. O rotacional de um campo de velocidade
, denotado por
, nos dá uma medida da tendência das partículas do fluido de girar em torno de um ponto. Em termos simples, ele nos diz quão “rotativo” está o fluxo no ponto considerado.
Passo 3
Vamos escrever o campo de velocidade dado:
com os valores:
E as variáveis
,
,
em metros,
em segundos.
Passo 4
Para encontrar o rotacional
, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de
,
,
e as coordenadas do ponto
no instante
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Resposta
A rotação da partícula fluida no ponto
no instante
é: