(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
V=A t x^2 imath-B t^3 y jmath+C x y k
onde A=3 m^-1, B=1 s^2 e C=5 m^-1 s^-1 ; x, y e z são dados em metros, e t em segundos, determine:
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(3,2,4), no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a rotação de uma partícula fluida em um determinado ponto e instante, utilizando um campo de velocidade definido. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional ou vorticidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo de velocidade no ponto no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional. O rotacional de um campo de velocidade , denotado por , nos dá uma medida da tendência das partículas do fluido de girar em torno de um ponto. Em termos simples, ele nos diz quão “rotativo” está o fluxo no ponto considerado.

Passo 3

Vamos escrever o campo de velocidade dado:
V = A t x^2 imath - B t^3 y jmath + C x y k
com os valores:
A = 3,m^-1, B = 1,s^2, C = 5,m^-1,s^-1
E as variáveis , , em metros, em segundos.

Passo 4

Para encontrar o rotacional nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z ) imath + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x ) jmath + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k , usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente partial Vzpartial y - partial Vypartial z = partial (C x y)partial y - partial (-B t^3 y)partial z :
= C x - 0 = C x
partial Vxpartial z - partial Vzpartial x = partial (A t x^2)partial z - partial (C x y)partial x
  1. Componente = 0 - C y = -C y :
partial Vypartial x - partial Vxpartial y = partial (-B t^3 y)partial x - partial (A t x^2)partial y
= 0 - 0 = 0
  1. Componente :

Passo 6

Agora, substituímos os valores de C x = 5,m^-1,s^-1 times 3,m = 15,s^-1 , -C y = -5,m^-1,s^-1 times 2,m = -10,s^-1 , 0 e as coordenadas do ponto no instante :
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

A rotação da partícula fluida no ponto nabla times V = 15,imath - 10,jmath + 0,k (s^-1) no instante é:

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