(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
com as constantes , e . A pergunta é: Esse campo representa um escoamento incompressível? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento incompressível e como calcular a divergência do campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um escoamento incompressível. Um escoamento é incompressível quando a densidade do fluido não muda com o tempo. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidade é igual a zero.
A divergência de um campo de velocidade é dada por:
Então, nosso objetivo é calcular essa divergência e verificar se ela é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Como não depende de , a derivada é zero.

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Para que o escoamento seja incompressível, a divergência deve ser igual a zero:

Passo 5

Vamos resolver a equação para verificar se ela é sempre verdadeira:
Isso significa que a condição deve ser válida para todo e . Porém, essa igualdade só é válida para valores específicos de e , não para todos os pontos do campo de velocidade.

Resposta

Não, o campo de velocidade não representa um escoamento incompressível, pois a divergência não é igual a zero para todos os valores de e .

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(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto , no instante .
Para a função corrente dada por:
Responda o que se pede:
d) Qual o significado geométrico da função corrente com um valor constante? (0,5 pt)
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante .
(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade , em que e , e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é , e que a distribuição das forças de campo é , determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto , assumindo que este escoamento é não viscoso.