(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
V=A t x^2 imath-B t^3 y jmath+C x y k
onde A=3 m^-1, B=1 s^2 e C=5 m^-1 s^-1 ; x, y e z são dados em metros, e t em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
V=A t x^2 imath - B t^3 y jmath + C x y k
com as constantes , e . A pergunta é: Esse campo representa um escoamento incompressível? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento incompressível e como calcular a divergência do campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um escoamento incompressível. Um escoamento é incompressível quando a densidade do fluido não muda com o tempo. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidade é igual a zero.
A divergência de um campo de velocidade nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z é dada por:
Então, nosso objetivo é calcular essa divergência e verificar se ela é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Para partial Vxpartial x = partialpartial x (A t x^2) = 2 A t x :
partial Vypartial y = partialpartial y (-B t^3 y) = -B t^3
  1. Para partial Vzpartial z = partialpartial z (C x y) = 0 :
  1. Para :
Como não depende de , a derivada é zero.

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot V = 2 A t x - B t^3 + 0 = 2 A t x - B t^3
Para que o escoamento seja incompressível, a divergência deve ser igual a zero:
2 A t x - B t^3 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação para verificar se ela é sempre verdadeira:
2 A t x = B t^3 implies x = B2 A t^2
Isso significa que a condição deve ser válida para todo e . Porém, essa igualdade só é válida para valores específicos de e , não para todos os pontos do campo de velocidade.

Resposta

Não, o campo de velocidade não representa um escoamento incompressível, pois a divergência não é igual a zero para todos os valores de e .

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