(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
com as constantes
,
e
. A pergunta é: Esse campo representa um escoamento incompressível? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento incompressível e como calcular a divergência do campo de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um escoamento incompressível. Um escoamento é incompressível quando a densidade do fluido não muda com o tempo. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidade é igual a zero.
A divergência de um campo de velocidade
é dada por:
Então, nosso objetivo é calcular essa divergência e verificar se ela é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Como
não depende de
, a derivada é zero.
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Para que o escoamento seja incompressível, a divergência deve ser igual a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação para verificar se ela é sempre verdadeira:
Isso significa que a condição
deve ser válida para todo
e
. Porém, essa igualdade só é válida para valores específicos de
e
, não para todos os pontos do campo de velocidade.
Resposta
Não, o campo de velocidade não representa um escoamento incompressível, pois a divergência
não é igual a zero para todos os valores de
e
.
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(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto , no instante
.
d) a rotação de uma partícula fluida no ponto
Para a função corrente dada por:
Responda o que se pede:
d) Qual o significado geométrico da função corrente com um valor constante? (0,5 pt)
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(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
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e
, y e z são dados em metros, e
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c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante
.
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(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade
, em que
e
, e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é
, e que a distribuição das forças de campo é
, determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
, assumindo que este escoamento é não viscoso.