( 1,25 pontos)Considere o campo vetorial
dada por
a curva C na qual o plano
corta o cone
. Determine a circulação de
ao longo de C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para determinar a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, que é onde o plano
corta o cone
. Para isso, vamos usar o conceito de circulação e o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial em uma curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva
. Temos o plano
e o cone
. Para encontrar a interseção dessas duas superfícies, igualamos as duas expressões para
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo de raio
no plano
. Então,
é uma circunferência de raio
no plano horizontal a altura
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a circulação de
ao longo de
. Em vez de calcular a integral de linha diretamente, que pode ser complicada, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a circulação de
ao longo de
é igual ao fluxo do rotacional de
através de uma superfície
que tem
como contorno.
Matematicamente:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Dado que:
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo de
através da superfície
, que é o disco no plano
com raio
. Para isso, precisamos do vetor normal
à superfície. Como a superfície está no plano
, o vetor normal é
.
Então, o produto escalar
fica:
Portanto, o fluxo é:
A área de um círculo de raio
é:
Passo 6
Concluindo, a circulação de
ao longo de
é igual ao fluxo calculado, ou seja:
Resposta
A circulação de
ao longo de
é
.