( 1,25 pontos)Considere o campo vetorial F: R^3 -> R^3 dada por F(x, y) = (y*z + x*z) * i + (x*z + x) * j + (x*y - y^2/2) * k e a curva C na qual o plano z = a > 0 corta o cone z = raiz(x^2 + y^2). Determine a circulação de F ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para determinar a circulação do campo vetorial ao longo da curva , que é onde o plano corta o cone . Para isso, vamos usar o conceito de circulação e o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial em uma curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos o plano e o cone . Para encontrar a interseção dessas duas superfícies, igualamos as duas expressões para :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo de raio no plano . Então, é uma circunferência de raio no plano horizontal a altura .

Passo 3

Agora, vamos calcular a circulação de ao longo de . Em vez de calcular a integral de linha diretamente, que pode ser complicada, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a circulação de ao longo de é igual ao fluxo do rotacional de através de uma superfície que tem como contorno.
Matematicamente:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de , ou seja, . Dado que:
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo de através da superfície , que é o disco no plano com raio . Para isso, precisamos do vetor normal à superfície. Como a superfície está no plano , o vetor normal é .
Então, o produto escalar fica:
Portanto, o fluxo é:
Á
A área de um círculo de raio é:

Passo 6

Concluindo, a circulação de ao longo de é igual ao fluxo calculado, ou seja:

Resposta

A circulação de ao longo de é .

Exercícios relacionados