Se α não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
© f(x) = { e^(alpha x) se -pi <= x < pi, periódica de período T = 2 pi }óí

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos uma função definida no intervalo de a e que é periódica com período . O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, sabendo que não é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier na forma complexa e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier na forma complexa para uma função periódica de período é dada por:
Aqui, são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular. A fórmula para calcular cada é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar os coeficientes para a nossa função .

Passo 3

Substituindo na fórmula dos coeficientes, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de uma função exponencial é bem conhecida:

Passo 4

Aplicando isso na nossa integral, temos:

Passo 5

Agora, podemos simplificar essa expressão utilizando a identidade de Euler para números complexos. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão dos coeficientes, ficamos com:

Passo 6

Podemos fatorar mais um pouco:
Observando que , temos:

Passo 7

Simplificando a expressão final dos coeficientes , encontramos:

Resposta

A série de Fourier complexa para a função é dada por:

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