não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos uma função
definida no intervalo de
a
e que é periódica com período
. O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, sabendo que
não é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier na forma complexa e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier na forma complexa para uma função periódica de período
é dada por:
Aqui,
são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular. A fórmula para calcular cada
é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar os coeficientes para a nossa função
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula dos coeficientes, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de uma função exponencial
é bem conhecida:
Passo 4
Aplicando isso na nossa integral, temos:
Passo 5
Agora, podemos simplificar essa expressão utilizando a identidade de Euler para números complexos. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão dos coeficientes, ficamos com:
Passo 6
Podemos fatorar mais um pouco:
Observando que
, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão final dos coeficientes
, encontramos:
Resposta
A série de Fourier complexa para a função
é dada por: