(1,25 pontos) Seja o campo vetorial F: IR^2 -> IR^2 dado por F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) i + x/(x^2 + y^2) j e a região com buraco limitada pelos círculos de equações x^2 + y^2 = a^2, percorrida no sentido antihorário e(x)^2 + y^2 = b^2, percorrida no sentido horário, sendo a < b. Verifique o Teorema de Green para os dados do campo vetorial e região.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar o Teorema de Green para o campo vetorial F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) i + x/(x^2 + y^2) j e a região com buraco limitada pelos círculos x^2 + y^2 = a^2 e x^2 + y^2 = b^2, onde . O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor do contorno de uma região com a integral dupla sobre a região em si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que:
onde , C é o contorno da região D. Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial.

Passo 3

Para o campo F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) i + x/(x^2 + y^2) j, temos:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Calculando a diferença das derivadas:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região D entre os círculos de raio a e b. Usando coordenadas polares, onde , , e :

Passo 7

Integrando em relação a r:

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:

Resposta

A integral dupla sobre a região D é igual a zero, confirmando que o Teorema de Green é verificado para o campo vetorial e a região dadas.

Exercícios relacionados