(1,25 pontos) Seja o campo vetorial
dado por
e a região com buraco limitada pelos círculos de equações
, percorrida no sentido antihorário
, percorrida no sentido horário, sendo
. Verifique o Teorema de Green para os dados do campo vetorial e região.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar o Teorema de Green para o campo vetorial
e a região com buraco limitada pelos círculos
e
, onde
. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor do contorno de uma região com a integral dupla sobre a região em si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que:
onde
,
é o contorno da região
. Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial.
Passo 3
Para o campo
, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Calculando a diferença das derivadas:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região
entre os círculos de raio
e
. Usando coordenadas polares, onde
,
, e
:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla sobre a região
é igual a zero, confirmando que o Teorema de Green é verificado para o campo vetorial e a região dadas.