Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Vamos resolver a equação de diferença linear de ordem 1 dada por:
Aqui, estamos lidando com equações de diferença, que são similares às equações diferenciais, mas trabalham com sequências em vez de funções contínuas. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para equações de diferença lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de aplicar o método do fator integrante:
Essa forma mostra claramente como cada termo
depende de
e de um termo não homogêneo
.
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma:
onde:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por ambos os lados da equação, facilita a resolução.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
, temos:
Esse produto pode ser complicado de calcular diretamente, mas vamos mantê-lo dessa forma para simplificar os próximos passos.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que permite usar técnicas de soma telescópica.
Passo 6
A equação multiplicada se torna:
Observamos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito como uma diferença:
Isso simplifica a solução, pois permite somar os termos de maneira telescópica.
Passo 7
Somamos ambos os lados da equação de
até
:
O lado esquerdo da soma telescópica simplifica para:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa expressão nos dá a solução geral da equação de diferença, onde
é o fator integrante encontrado anteriormente.
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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(25 pontos) Dada a série
, use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.
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