Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: y_{n+1} - 4^n * y_n = 2^(n^2), y_0 = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear de ordem 1 dada por:
Aqui, estamos lidando com equações de diferença, que são similares às equações diferenciais, mas trabalham com sequências em vez de funções contínuas. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para equações de diferença lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de aplicar o método do fator integrante:
Essa forma mostra claramente como cada termo depende de e de um termo não homogêneo .

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma:
onde:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por ambos os lados da equação, facilita a resolução.

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Substituindo , temos:
Esse produto pode ser complicado de calcular diretamente, mas vamos mantê-lo dessa forma para simplificar os próximos passos.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que permite usar técnicas de soma telescópica.

Passo 6

A equação multiplicada se torna:
Observamos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito como uma diferença:
Isso simplifica a solução, pois permite somar os termos de maneira telescópica.

Passo 7

Somamos ambos os lados da equação de n = 0 até :
O lado esquerdo da soma telescópica simplifica para:
Sabemos que , então:

Passo 8

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Essa expressão nos dá a solução geral da equação de diferença, onde é o fator integrante encontrado anteriormente.

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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