(1,25 pontos) Uma esfera de cobre, inicialmente à temperatura uniforme de 132^circ C, é repentinamente solta no fundo de um grande banho de bismuto a 500^circ C. O diâmetro da esfera é 1 cm e ela sobe através do banho a 1 m / s. Até onde a esfera subirá antes de sua temperatura central atingir 300^circ C ? Qual será a sua temperatura superficial neste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera de cobre que começa com uma temperatura uniforme de e é colocada de repente num banho de bismuto a . O diâmetro da esfera é de 1 cm, e ela está subindo no banho a uma velocidade de . Queremos descobrir até onde essa esfera vai subir antes que a temperatura no centro dela atinja . Além disso, queremos saber qual será a temperatura na superfície da esfera nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se difunde na esfera de cobre enquanto ela se move através do banho de bismuto. Vamos usar conceitos de condução de calor e a equação de difusão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que a esfera leva para subir até o ponto onde a temperatura central atinge alpha = krho cdot c . Para isso, precisamos da difusividade térmica do cobre ( alpha = 4008960 cdot 385 approx 1.15 times 10^-4 , m^2/s ), que é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do cobre,
  • é a densidade do cobre,
  • é a capacidade calorífica específica do cobre.
Usando valores típicos:
  • ,
  • ,
  • .
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos estimar o tempo ( t approx R^2alpha ) necessário para que o calor se difunda até o centro da esfera. A relação característica para difusão térmica é:
t approx (0.005)^21.15 times 10^-4 approx 0.217 , s
Onde é o raio da esfera. Como o diâmetro é 1 cm, o raio .
Calculando :

Passo 4

Sabendo o tempo que a esfera leva para atingir a temperatura central de d = v cdot t = 1 , m/s times 0.217 , s approx 0.217 , m , podemos calcular a distância que ela percorre nesse tempo. Como a velocidade ( ) é de :
Então, a esfera sobe aproximadamente 0.217 metros.

Passo 5

Agora, queremos saber qual será a temperatura superficial da esfera nesse ponto. Como a superfície está em contato direto com o banho de bismuto a , a temperatura superficial tende a se aproximar dessa temperatura devido à condução de calor.
Entretanto, como a esfera está aquecendo, a temperatura superficial vai aumentar, mas ainda estará abaixo de no tempo calculado. Para uma estimativa simplificada, podemos assumir que a superfície rapidamente atinge uma temperatura próxima do banho, então podemos considerar a temperatura superficial próxima de nesse ponto.

Resposta

A esfera subirá aproximadamente 0,217 metros antes de sua temperatura central atingir . Neste ponto, a temperatura superficial da esfera será próxima de .

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