(1,25 pontos) Uma esfera de cobre, inicialmente à temperatura uniforme de
, é repentinamente solta no fundo de um grande banho de bismuto a
. O diâmetro da esfera é 1 cm e ela sobe através do banho a
. Até onde a esfera subirá antes de sua temperatura central atingir
? Qual será a sua temperatura superficial neste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera de cobre que começa com uma temperatura uniforme de
e é colocada de repente num banho de bismuto a
. O diâmetro da esfera é de 1 cm, e ela está subindo no banho a uma velocidade de
. Queremos descobrir até onde essa esfera vai subir antes que a temperatura no centro dela atinja
. Além disso, queremos saber qual será a temperatura na superfície da esfera nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se difunde na esfera de cobre enquanto ela se move através do banho de bismuto. Vamos usar conceitos de condução de calor e a equação de difusão térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que a esfera leva para subir até o ponto onde a temperatura central atinge
. Para isso, precisamos da difusividade térmica do cobre (
), que é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do cobre, -
é a densidade do cobre, -
é a capacidade calorífica específica do cobre.
Usando valores típicos:
-
, -
, -
.
Calculando
:
Passo 3
Agora, vamos estimar o tempo (
) necessário para que o calor se difunda até o centro da esfera. A relação característica para difusão térmica é:
Onde
é o raio da esfera. Como o diâmetro é 1 cm, o raio
.
Calculando
:
Passo 4
Sabendo o tempo que a esfera leva para atingir a temperatura central de
, podemos calcular a distância que ela percorre nesse tempo. Como a velocidade (
) é de
:
Então, a esfera sobe aproximadamente 0.217 metros.
Passo 5
Agora, queremos saber qual será a temperatura superficial da esfera nesse ponto. Como a superfície está em contato direto com o banho de bismuto a
, a temperatura superficial tende a se aproximar dessa temperatura devido à condução de calor.
Entretanto, como a esfera está aquecendo, a temperatura superficial vai aumentar, mas ainda estará abaixo de
no tempo calculado. Para uma estimativa simplificada, podemos assumir que a superfície rapidamente atinge uma temperatura próxima do banho, então podemos considerar a temperatura superficial próxima de
nesse ponto.
Resposta
A esfera subirá aproximadamente 0,217 metros antes de sua temperatura central atingir
. Neste ponto, a temperatura superficial da esfera será próxima de
.