(1,25 pts) Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa calcular é a integral de em relação a . Isso é matéria de cálculo, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . A ideia é fatorar essa expressão. Procuramos dois números que multiplicados dêem -14 e somados dêem 5. Esses números são 7 e -2. Então, podemos reescrever o denominador assim:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar frações parciais para decompô-lo. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Se :
Se :
Então, as frações parciais ficam:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original:
Como é uma constante em relação a , podemos tirar ele da integral:
Integrando cada termo:

Resposta

A integral é igual a .

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Dado , mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por
Dado resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função definida por para é dada por
pts)
Para cada par de funções e abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de , .
e