(1,25 pts) Calcule
integral yx^2+5 x-14 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa calcular é a integral de em relação a . Isso é matéria de cálculo, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2) . A ideia é fatorar essa expressão. Procuramos dois números que multiplicados dêem -14 e somados dêem 5. Esses números são 7 e -2. Então, podemos reescrever o denominador assim:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar frações parciais para decompô-lo. Queremos encontrar constantes 1(x + 7)(x - 2) = Ax + 7 + Bx - 2 e 1 = A(x - 2) + B(x + 7) tais que:
1 = A(0) + B(9) Rightarrow B = 19
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(-9) + B(0) Rightarrow A = -19 , temos:
1(x + 7)(x - 2) = -19(x + 7) + 19(x - 2)
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Se :
Se :
Então, as frações parciais ficam:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral yx^2 + 5x - 14 dx = integral y ( -19(x + 7) + 19(x - 2) ) dx
Como = y ( -19 integral 1x + 7 dx + 19 integral 1x - 2 dx ) é uma constante em relação a = y ( -19 ln|x + 7| + 19 ln|x - 2| ) + C , podemos tirar ele da integral:
Integrando cada termo:

Resposta

A integral é igual a .

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