Dado
, mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função
, que é igual a
. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e usar algumas propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo,
, em uma função no domínio da frequência,
, usando a integral:
No nosso caso,
. Então, vamos substituir isso na integral.
Passo 3
Substituindo
na expressão da Transformada de Laplace:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das integrais. Sabemos que:
Aplicando isso às nossas integrais:
Para a primeira integral,
. Precisamos que
para a integral convergir.
Para a segunda integral,
. Sempre que
, o que já está coberto se
.
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Dado
resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função definida por
para
é dada por
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos
e
, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
h)
h)
(1,25 pts) Calcule