Dado a in R, mostre que a transformada de Laplace da função
f(t) = cosh(a t) = (e^(a t) + e^(-a t)) / 2
é dada por
F(s) = s / (s^2 - a^2), s > |a|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função , que é igual a . Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e usar algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo, f(t), em uma função no domínio da frequência, F(s), usando a integral:
No nosso caso, . Então, vamos substituir isso na integral.

Passo 3

Substituindo f(t) na expressão da Transformada de Laplace:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais. Sabemos que:
Aplicando isso às nossas integrais:
Para a primeira integral, . Precisamos que para a integral convergir.
Para a segunda integral, . Sempre que , o que já está coberto se .

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na expressão de F(s):
Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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