Dado , mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função , que é igual a . Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace e usar algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo, , em uma função no domínio da frequência, , usando a integral:
No nosso caso, . Então, vamos substituir isso na integral.

Passo 3

Substituindo na expressão da Transformada de Laplace:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais. Sabemos que:
Aplicando isso às nossas integrais:
Para a primeira integral, . Precisamos que para a integral convergir.
Para a segunda integral, . Sempre que , o que já está coberto se .

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na expressão de :
Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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Dado resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função definida por para é dada por
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos e , as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
h)
(1,25 pts) Calcule
pts)