(0,9 pts) integral-2^-1 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente na técnica de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como usar substituições adequadas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 1x

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = -1x^2 Rightarrow du = -1x^2 , dx Rightarrow dx = -x^2 , du em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral 1x raizx^2-1 , dx = integral 1x raizx^2-1 cdot (-x^2) , du = -integral xraizx^2-1 , du e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Como -integral 1uraiz(1u)^2-1 , du = -integral 1uraiz1u^2-1 , du , temos . Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
raiz1 - u^2u^2 = raiz1 - u^2u
Portanto, a integral fica:
-integral 1uraiz1 - u^2u , du = -integral 1raiz1 - u^2 , du

Passo 7

A integral arcsin(u) + C é uma padrão cuja antiderivada é:
-arcsin(u) + C = -arcsin(1x) + C
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral definida de [ -arcsin(1x) ]-2^-1 = -arcsin(1-1) + arcsin(1-2) a :

Passo 9

Simplificando os valores:
-arcsin(-1) + arcsin(-12)
Sabemos que:
arcsin(-1) = -pi2 e arcsin(-12) = -pi6
Portanto:
-(-pi2) + (-pi6) = pi2 - pi6 = pi3

Resposta

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