Dado
resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
definida por
para
é dada por
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra verificar qual é a transformada de Laplace da função
, onde
é um número natural (0, 1, 2, …). A matéria aqui é Transformada de Laplace, e a gente vai precisar da definição dessa transformada para funções do tipo polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo
em uma função no domínio de frequência,
. A fórmula da transformada de Laplace é:
Onde
é uma variável complexa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Isso é uma integral que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma propriedade conhecida das integrais envolvendo funções exponenciais e polinômios, que nos diz que:
Isso ocorre porque a integral da transformada de Laplace de
resulta em
dividido por
elevado a
.
Passo 5
Então, substituindo de volta, concluímos que:
Isso confirma o que o exercício pediu para verificar.
Resposta
A transformada de Laplace de
é
, para
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos
e
, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
h)
h)
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
e)
e)
Dado
, mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por
(1,25 pts) Calcule