Dado n in N resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função f_n: [0, infinito) -> R definida por f_n(t) = t^n para n = 0, 1, 2, ... é dada por
F_n(s) = n!/s^(n+1), s > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra verificar qual é a transformada de Laplace da função , onde é um número natural (0, 1, 2, …). A matéria aqui é Transformada de Laplace, e a gente vai precisar da definição dessa transformada para funções do tipo polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função no domínio de frequência, . A fórmula da transformada de Laplace é:
Onde é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:
Isso é uma integral que precisamos resolver para encontrar .

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma propriedade conhecida das integrais envolvendo funções exponenciais e polinômios, que nos diz que:
Isso ocorre porque a integral da transformada de Laplace de resulta em dividido por elevado a .

Passo 5

Então, substituindo de volta, concluímos que:
Isso confirma o que o exercício pediu para verificar.

Resposta

A transformada de Laplace de é , para .

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