25.) sumn=1^infty ln ^2(n)n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a soma infinita de ln^2(n)n^3 para todo n começando de 1 até o infinito. Isso envolve conceitos de séries infinitas e funções especiais, especialmente a função zeta de Riemann. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a função zeta está relacionada a somas como essa e como usar derivadas dela para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função zeta de Riemann. Ela é definida pela série:
zeta(s) = sumn=1^infty 1n^s
onde s é um número complexo com parte real maior que 1. No nosso caso, temos uma soma parecida, mas com um termo a mais: ln^2(n). Para lidar com isso, vamos usar derivadas da função zeta.

Passo 3

Sabemos que a primeira derivada da função zeta em relação a s é dada por:
zeta'(s) = -sumn=1^infty ln(n)n^s
E a segunda derivada é:
zeta''(s) = sumn=1^infty ln^2(n)n^s
Olha só, isso é exatamente a soma que queremos calcular! Ou seja, nossa soma infinita sumn=1^infty ln^2(n)n^3 é igual à segunda derivada da funç��o zeta avaliada em s = 3.

Resposta

Portanto, a soma sumn=1^infty ln^2(n)n^3 é igual a zeta''(3).

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