25.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a soma infinita de
para todo
começando de 1 até o infinito. Isso envolve conceitos de séries infinitas e funções especiais, especialmente a função zeta de Riemann. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a função zeta está relacionada a somas como essa e como usar derivadas dela para encontrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função zeta de Riemann. Ela é definida pela série:
onde
é um número complexo com parte real maior que 1. No nosso caso, temos uma soma parecida, mas com um termo a mais:
. Para lidar com isso, vamos usar derivadas da função zeta.
Passo 3
Sabemos que a primeira derivada da função zeta em relação a
é dada por:
E a segunda derivada é:
Olha só, isso é exatamente a soma que queremos calcular! Ou seja, nossa soma infinita
é igual à segunda derivada da funç��o zeta avaliada em
.
Resposta
Portanto, a soma
é igual a
.